Highmath: edit

.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json

@@ -12,7 +12,7 @@
   "listChangedFilesInMessageBody": false,
   "showStatusBar": true,
   "updateSubmodules": false,
-  "syncMethod": "merge",
+  "syncMethod": "rebase",
   "customMessageOnAutoBackup": false,
   "autoBackupAfterFileChange": false,
   "treeStructure": false,

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md

@@ -1,33 +1,20 @@
 # Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
 
 ## Числовые ряды
-
+**Числовой ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$, где $a_n$ — общий член ряда.
-Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$
-где ($a_n$ ) — общий член ряда.
 
 ## Общий член ряда
-
+**Общий член ряда** ($a_n$) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда.
-Общий член ряда ( $a_n$ ) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда. Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $( a_n = ar^n )$, где ( $a$ ) — первый член, а ( $r$ ) — отношение между последующими членами.
+Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $a_n = ar^n$, где *a* — первый член, а *r* — отношение между последующими членами.
 
 ## Сумма ряда
-
+**Сумма ряда** (S) — это предел *частичных сумм* $S_n$: $S = \lim\limits_{n \to \infty} S_n$, где $S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$.
-Сумма ряда ( $S$ ) — это предел частичных сумм ( $S_n$ ):
-$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$
-где ( $S_n$ = $\sum_{k=1}^{n}a_k$).
 
 ## Необходимое условие сходимости ряда
-
+Если $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *сходится*, то $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$
-Необходимое условие сходимости ряда заключается в том, что если ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$) сходится, то его общий член ( $a_n$ ) должен стремиться к нулю при ( $n \to \infty$ ):
+Однако это условие не является *достаточным*. Например, гармонический ряд ($\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$) расходится, несмотря на то, что его общий член ($\frac 1 n$) стремится к нулю.
- $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
-
-Однако это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ) расходится, несмотря на то, что его общий член ( $\frac{1}{n}$ ) стремится к нулю.
 ## Примеры
-
 1. **Геометрический ряд**:
-$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$
+	$\sum\limits_{n=0}^\infty ar^n$ *сходится*, если $|r| < 1$
-Сходится, если ( $|r| < 1$ ).
-
 2. **Гармонический ряд**:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
+	$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ *расходится*
-Расходится.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md

@@ -1,50 +1,35 @@
 # Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.
 
 ## Введение
-
+**Функциональные ряды** — это ряды, члены которых являются функциями от переменной
-Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. Они играют важную роль в математике и её приложениях. 
 
 ## Функциональные ряды
-
+**Функциональный ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$, где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
-Функциональный ряд — это ряд вида:
-$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$
-где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
 
 ## Частичная сумма и сумма функционального ряда
+**Частичная сумма** функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда: $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ ^2cb2e9
 
-Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда:
+**Сумма** функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$: $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)$ ^f4f31b
-$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$
-
-Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$:
-$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$
 
 ## Сходимость функционального ряда
-
+Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *сходится* в точке $x_0$, если существует конечный предел: $\lim\limits_{n\to\infty} S_n(x_0)$
-Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится в точке $x_0$, если существует конечный предел:
-$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)$
 
 ## Область сходимости функционального ряда
-
+**Область сходимости** функционального ряда — это множество всех точек, в которых ряд *сходится*. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
-Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек $x$, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
 
 ## Признаки сходимости функциональных рядов
 
 ### Признак Вейерштрасса
-
+**Признак Вейерштрасса** позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
-Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
 
 #### Формулировка признака Вейерштрасса
+Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$.
 
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
+Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$.
-$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
 
-Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
+#### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$.
 
-### Пример
+Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
+Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md

@@ -1,45 +1,17 @@
 # Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда
 
-## Введение
-
-Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. 
-
 ## Равномерная сходимость функциональных рядов
-
+Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ называется **равномерно сходящимся** на множестве $D$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство: $|S(x)-S_n(x)| < \varepsilon$, где: ^392550
-Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ называется равномерно сходящимся на множестве $D$, если для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство:
+- $S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b|сумма ряда]]
-$|S(x)-S_n(x)|<\epsilon$
+- $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичная сумма ряда]].
-где $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — сумма ряда, а $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ — частичная сумма ряда.
 
 ## Связь между сходимостью и равномерной сходимостью
-
+**Равномерная сходимость** функционального ряда влечет за собой его обычную *сходимость*, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как *непрерывность* суммы ряда и возможность *почленного интегрирования* и *дифференцирования*.
-Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
+Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
 
-Оценим $|f_n(x)|$:
+Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]].
-$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-## Признак Вейерштрасса
-
-Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
-
-### Формулировка признака Вейерштрасса
-
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
-$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
-
-Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
-
-### Пример
-
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
 

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md

@@ -1,45 +1,36 @@
 # Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
 
 ## Введение
-
 Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант.
 
-	**Мажоранта** (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точная верхняя и нижняя границы").
+> [!Термин]
+> **Мажоранта** (от *majorer* — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точной верхней и нижней границ").
 
 ## Признак Вейерштрасса
 
-### Формулировка признака Вейерштрасса
+### Формулировка
+Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$.
 
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
+Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$.
-$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
 
-Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
 
-### Доказательство признака Вейерштрасса
+### Доказательство
+Рассмотрим [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы ряда]] $S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum\limits_{k=1}^n M_k$.
 
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum_{k=1}^{n}M_k$.
+Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
-
-Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
 
 Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
-$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k=T_m-T_n$
+$|S_m(x) - S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m f_k(x) \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |f_k(x)| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m M_k = T_m-T_n$
 
-Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$.
+Поскольку последовательность $T_n$ *ограничена*, то и разность $T_m-T_n$ *ограничена*. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$.
 
-## Примеры
+### Примеры
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$
+	Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
+	
+	Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
 
-1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
+1. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
+	Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}$
-
+	
-Оценим $|f_n(x)|$:
+	Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3}$ *сходится*, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md

@@ -3,60 +3,46 @@
 ## Свойства равномерно сходящихся рядов
 
 ### Непрерывность суммы ряда
-
+Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ *непрерывны* на $D$, то [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b|сумма ряда]] $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ также *непрерывна* на $D$.
-Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ непрерывны на $D$, то сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ также непрерывна на $D$.
 
 #### Доказательство
+Пусть $\varepsilon > 0$. По определению [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#Равномерная сходимость функциональных рядов|равномерной сходимости]], существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется $|S(x)-S_n(x)| < \frac \varepsilon 3$
 
-Пусть $\epsilon>0$. По определению равномерной сходимости, существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется:
+Поскольку $f_n(x)$ *непрерывны*, то и [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы]] $S_n(x)$ *непрерывны*. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется:
-$|S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}$
+$|S_n(x)-S_n(x_0)| < \frac \varepsilon 3$
-
-Поскольку $f_n(x)$ непрерывны, то и частичные суммы $S_n(x)$ непрерывны. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется:
-$|S_n(x)-S_n(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}$
 
 Тогда:
-$|S(x)-S(x_0)|\leq|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(x_0)|+|S_n(x_0)-S(x_0)|<\epsilon$
+$|S(x)-S(x_0)| \leq |S(x)-S_n(x)| + |S_n(x)-S_n(x_0)| + |S_n(x_0)-S(x_0)| < \varepsilon$
 
 Таким образом, $S(x)$ непрерывна на $D$.
 
 ### Почленное интегрирование
-
+Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно:
-Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно:
+$\int\limits_D \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_D f_n(x)dx$
-$\int_{D}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
 
 #### Доказательство
-
 Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд равномерно сходится, то:
-$\int_{D}S(x)dx=\int_{D}\lim_{n\to\infty}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{D}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{D}f_k(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
+$$
+\int\limits_D S(x)dx = \int\limits_D \lim_{n\to\infty} S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \int\limits_D S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_D f_k(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int\limits_D f_n(x)dx
+$$
 
 ### Почленное дифференцирование
-
+Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и ряд из производных $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$ также *равномерно сходится* на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно: $S'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$
-Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ также равномерно сходится на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно:
-$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
 
 #### Доказательство
-
+Рассмотрим [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы ряда]] $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то: $S'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} S_n'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n f_k'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то:
-$S'(x)=\lim_{n\to\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
 
 ## Примеры
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$
+	Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
+	
+	Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]]**.
+	
+	Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ *непрерывны*, то и сумма ряда $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *непрерывна*.
 
-1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
+	Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}$
-
+	
-Оценим $|f_n(x)|$:
+	Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]].
-$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
+	
-
+	Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ *непрерывны*, то и сумма ряда $S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ *непрерывна*.
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывна.
-
-2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывна.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md

@@ -1,60 +1,36 @@
 # Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.
 
-## Введение
-
-Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. 
-
 ## Степенной ряд
+**Степенной ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — *коэффициенты*, а $x$ — *переменная*. ^e4c1fc
 
-Степенной ряд имеет вид:
+**Радиус сходимости** степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ ^92c7d3
-$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
-где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная.
 
-## Радиус сходимости
+**Интервал сходимости** степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
 
-Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара:
+**Промежуток сходимости** степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$.
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
-
-## Интервал сходимости
-
-Интервал сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
-
-## Промежуток сходимости
-
-Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$.
 
 ## Первая теорема Абеля
+Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#^392550|сходится равномерно]] на интервале $[0,R]$.
 
-Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
+### Формулировка
-
+Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ *сходится* в точке $x=R$. Тогда ряд *сходится равномерно* на интервале $[0,R]$.
-### Формулировка первой теоремы Абеля
-
-Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
 
 ### Доказательство
+Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ выполняется $|S(R)-S_n(R)| < \varepsilon$
 
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
+Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: $|S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kx^k| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kR^k|$
-$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
 
-Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
+Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum\limits_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
-$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
 
-Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
+### Примеры
+1. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
+	Найдем радиус сходимости:
+	$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
+	
+	Таким образом, ряд сходится для всех $x \in \mathbb{R}$.
 
-## Примеры
+1. $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$
-
+	Найдем радиус сходимости:
-1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
+	$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1$
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
+	
-
+	Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
-
-Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
-
-2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
-
-Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md

@@ -2,60 +2,49 @@
 
 ## Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда
 
-### Формулировка теоремы
+### Формулировка
-
+Пусть $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc|степенной ряд]] с [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^92c7d3|радиусом сходимости]] $R$. Тогда:
-Пусть $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$. Тогда:
+1. Ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ абсолютно сходится для всех $|x|<R$.
-1. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ абсолютно сходится для всех $|x|<R$.
+2. Ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$.
-2. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$.
 
 ### Доказательство
-
 1. **Абсолютная сходимость**:
-   Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$. Поскольку $|x|<R$, то $|a_nx^n|\leq|a_n|R^n$. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|R^n$ сходится, так как $R$ — радиус сходимости. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ сходится, что означает абсолютную сходимость ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ для всех $|x|<R$.
+   Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_nx^n|$. Поскольку $|x|<R$, то $|a_nx^n| \leq |a_n|R^n$. Ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|R^n$ сходится, так как $R$ — радиус сходимости. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_nx^n|$ сходится, что означает абсолютную сходимость ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ для всех $|x|<R$.
 
 2. **Равномерная сходимость**:
-   Пусть $[a,b]\subset(-R,R)$. Тогда существует такое $r<R$, что $[a,b]\subset[-r,r]$. Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n$. Поскольку $r<R$, то ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n$ сходится. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на $[a,b]$ по признаку Вейерштрасса.
+   Пусть $[a,b]\subset(-R,R)$. Тогда существует такое $r<R$, что $[a,b] \subset [-r,r]$. Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|r^n$. Поскольку $r<R$, то ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|r^n$ сходится. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на $[a,b]$ по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]].
 
 ## Непрерывность суммы степенного ряда
-
+Если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$, то его сумма $S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ непрерывна на этом интервале.
-Если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$, то его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ непрерывна на этом интервале.
 
 ### Доказательство
-
+Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то его сумма $S(x)$ непрерывна на $(-R,R)$ как равномерный предел непрерывных функций.
-Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то его сумма $S(x)$ непрерывна на $(-R,R)$ как равномерный предел непрерывных функций.
 
 ## Вторая теорема Абеля
+Вторая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
 
-Вторая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
+### Формулировка
-
+Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
-### Формулировка второй теоремы Абеля
-
-Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
 
 ### Доказательство
+Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ выполняется:
+$|S(R)-S_n(R)| < \varepsilon$
 
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
+Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x) - S_n(x)$ для $m > n$:
-$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
+$|S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kR^k \right|$
 
-Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
+Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kR^k \right|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
-$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
-
-Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
 
 ## Примеры
 
-1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
+1. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!}$
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
+	Найдем радиус сходимости:
+	$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
+	
+	Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой.
 
-Найдем радиус сходимости:
+1. $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
+	Найдем радиус сходимости:
-
+	$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1$
-Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой.
+	
-
+	Таким образом, ряд сходится для всех $|x| < 1$ и расходится для всех $|x| > 1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b] \subset (-1,1)$, его сумма $S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$.
-2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
-
-Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-1,1)$, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md

@@ -1,47 +1,34 @@
 # Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
 
 ## Введение
-
+**Степенной ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. 
-Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. 
 
 ## Формула Коши-Адамара
-
+Формула Коши-Адамара позволяет найти [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc|радиус сходимости]] степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
-Формула Коши-Адамара позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
+Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
 
 Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
 
 ## Формула Даламбера
-
+Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
-Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
-$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$.
+Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac 1 {n+1} \right| = 0$
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0$
 
 Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$.
 
 ## Формула Коши
-
+Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
-Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
-$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
+Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|} = 1$
 
-Найдем радиус сходимости:
+Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
-$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}=1$
-
-Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md

@@ -3,43 +3,58 @@
 ## Почленное интегрирование степенных рядов
 
 ### Теорема о почленном интегрировании
-
+Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
-Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
+$\int\limits_a^b \left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_a^b a_nx^ndx$
-$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
 
 ### Доказательство
-
+Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
-Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
+$$
-$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\int_{a}^{b}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\int_{a}^{b}a_nx^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
+\int_a^b \left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx = 
+\int_a^b \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_nx^ndx = \lim_{N\to\infty} \int_a^b \sum_{n=0}^N a_nx^ndx =
+\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \int_a^b a_nx^ndx =
+\sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_nx^ndx
+$$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
+Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
 
 Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно интегрируем ряд на интервале $[0,1]$:
-$\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)}=e-1$
+$$
+\int_0^1 \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) dx = 
+\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n}{n!}dx =
+\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \int_0^1 x^ndx =
+\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!(n+1)} =
+e-1
+$$
 
 ## Почленное дифференцирование степенных рядов
 
 ### Теорема о почленном дифференцировании
-
+Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
-Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
+$\left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$
-$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
 
 ### Доказательство
-
+Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
-Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
+$$
-$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
+\left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' =
+\lim_{N\to\infty} \left( \sum_{n=0}^N a_nx^n \right)' =
+\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \left( a_nx^n \right)' =
+\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N na_nx^{n-1} =
+\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
+$$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
+Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
 
 Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно дифференцируем ряд:
-$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$
+$$
+\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right)' =
+\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} =
+\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} =
+\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =
+e^x
+$$

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md

@@ -1,61 +1,45 @@
 # Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
 
 ## Разложение функций в степенные ряды
-
+Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$
-Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
-$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
 
 ## Ряды Тейлора и Маклорена
 
 ### Ряд Тейлора
-
+Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$, где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
-Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
-$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
-
-где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
 
 ### Ряд Маклорена
-
+Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
-Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$:
-$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$.
 
-Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$:
+Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
-$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
 
 ## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
 
 ### Теорема
-
+Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется: $|f^{(n)}(x)| \leq M$
-Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется:
-$|f^{(n)}(x)|\leq M$
 
 для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.
 
 ### Доказательство
-
 Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора:
-$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
+$R_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$
 
 По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
-$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
+$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$, где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
 
-где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
+Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)| \leq M$, то:
+$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} |x-x_0|^{n+1}$
 
-Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq M$, то:
+Поскольку $\frac M {(n+1)!} |x-x_0|^{n+1} \to 0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
-$|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$
-
-Поскольку $\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
 
 ## Примеры
-
 1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**:
 Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$:
-$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
+$\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
 
 2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**:
 Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$:
-$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
+$\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md

@@ -2,45 +2,36 @@
 
 ## Введение
 
-Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид:
+**Ряд Маклорена** — это частный случай [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18#Ряд Тейлора|ряда Тейлора]], когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$
-$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$
 
 ## Разложение элементарных функций
 
 ### Экспоненциальная функция
 
-Функция $f(x)=e^x$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
+Функция $f(x) = e^x$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
-$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
 
 #### Доказательство
+Вычислим производные функции $f(x) = e^x$: $f^{(n)}(x) = e^x$
 
-Вычислим производные функции $f(x)=e^x$:
+Таким образом, $f^{(n)}(0) = 1$ для всех $n$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} x^n$
-$f^{(n)}(x)=e^x$
-
-Таким образом, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
-$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$
 
 ### Синус
-
+Функция $f(x) = \sin(x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
-Функция $f(x)=\sin(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
+$$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
-$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
 
 #### Доказательство
-
 Вычислим производные функции $f(x)=\sin(x)$:
-$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
+$f^{(2n)}(x) = (-1)^n \sin(x)$
-$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
+$f^{(2n+1)}(x) = (-1)^n \cos(x)$
 
-Таким образом, $f^{(2n)}(0)=0$ и $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
+Таким образом, $f^{(2n)}(0) = 0$ и $f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*:
 $\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
 
 ### Косинус
-
+Функция $f(x) = \cos(x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
-Функция $f(x)=\cos(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
+$$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
-$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
 
 #### Доказательство
-
 Вычислим производные функции $f(x)=\cos(x)$:
 $f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
 $f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
@@ -49,14 +40,12 @@ $f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
 $\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
 
 ### Логарифм
-
+Функция $f(x) = \ln(1+x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
-Функция $f(x)=\ln(1+x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
+$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n$$
-$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$
 
 #### Доказательство
+Вычислим производные функции $f(x) = \ln(1+x)$:
+$f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}(n-1)! (1+x)^{-n}$
 
-Вычислим производные функции $f(x)=\ln(1+x)$:
+Таким образом, $f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1} (n-1)!$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*:
-$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}$
+$\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n$
-
-Таким образом, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
-$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md

@@ -1,54 +1,34 @@
 # Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
 
 ## Гармонический ряд
-
+**Гармонический ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ ^ab323a
-Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
 
 ### Сходимость гармонического ряда
+Гармонический ряд *расходится*. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак.  ^e432ca
 
-Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:
+Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: $S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k$
-$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$
+Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как $S_n \approx \ln(n) + \gamma$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
-
-Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как:
-$S_n \approx \ln(n) + \gamma$
-где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
-
 Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда.
 
 ## Обобщенный гармонический ряд
-
+**Обобщенный гармонический ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p$ — положительное число. ^e8e233
-Обобщенный гармонический ряд имеет вид:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
-где $p$ — положительное число.
 
 ### Сходимость обобщенного гармонического ряда
-
 Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$:
-- Если $p > 1$, то ряд сходится.
+- Если $p > 1$, то ряд сходится. ^5262f4
 - Если $p \leq 1$, то ряд расходится.
 
-Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл:
+Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$
-$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$
+- Для $p > 1$:
-
+	$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$
-Для $p > 1$:
+- Для $p \leq 1$:
-$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}$
+	$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$ *расходится*.
-
-Для $p \leq 1$:
-$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ расходится.
-
 Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.
 
 ## Примеры
-
 1. **Гармонический ряд**:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
+	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ *расходится*
-Расходится.
-
 2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
+	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ *сходится*, так как $p = 2 > 1$.
-Сходится, так как $p = 2 > 1$.
-
 3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
+	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ *расходится*, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.
-Расходится, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md

@@ -1,60 +1,47 @@
 # Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье.
 
 ## Введение
-
+Тригонометрический **ряд Фурье** — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. 
-Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. 
 
 ## Тригонометрический ряд Фурье
-
+Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$, где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.
-Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид:
-$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$
-
-где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.
 
 ## Коэффициенты Фурье
-
 Коэффициенты Фурье $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
+$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)dx$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
+$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)dx$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
 
 Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0$
+$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x dx = 0$
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)dx=0$
+$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \cos(nx) dx = 0$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
+$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac {2(-1)^{n+1}} n$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$
-$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$
 
 ## Достаточное условие разложимости в ряд Фурье
 
 ### Теорема
-
 Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале $[-\pi,\pi]$. Тогда $f(x)$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
 
 ### Доказательство
-
 Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция $f(x)$ кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале $[-\pi,\pi]$, то её ряд Фурье сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
 
 ## Примеры
-
 1. **Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
-Вычислим коэффициенты Фурье:
+	Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
+	$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
+	$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)dx=0$
+	$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \sin(nx) dx = 0$
-
+	
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
+	Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$
-$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
 
 2. **Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
-Вычислим коэффициенты Фурье:
+	Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$
+	$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 dx = \frac{2\pi^2} 3$
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$
+	$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \cos(nx) dx = \frac{4(-1)^n}{n^2}$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$
+	$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \sin(nx) dx = 0$
-
+	
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид:
+	Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид: $f(x) = \frac{\pi^2} 3 + 4 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$
-$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md

@@ -1,10 +1,8 @@
 # Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
 
 ## Введение
-
+**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
-Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
 ## Четные функции
-
 Четная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=f(-x)$. Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены:
 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$
 
@@ -13,30 +11,22 @@ $a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$
 $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим четную функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
 
 Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
+$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
+$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$
-$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
 
 ## Нечетные функции
+Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x) = -f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены: $f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)$
 
-Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=-f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены:
+где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами: $b_n = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) dx$
-$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)$
-
-где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами:
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим нечетную функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
 
-Вычислим коэффициенты Фурье:
+Вычислим коэффициенты Фурье: $b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac{2(-1)^{n+1}} n$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$
-$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md

@@ -1,41 +1,32 @@
 # Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
 
 ## Введение
-
+**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
-Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
 
 ## Разложение функций произвольного периода
-
+Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда *ряд Фурье* для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left( a_n\cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) \right)$, где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
-Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид:
+- $a_0 = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) dx$
-$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$
+- $a_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$
-
+- $b_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$
-где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
-$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$
-$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
-$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
 
 ## Примеры
 
 ### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$
-
 Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
 
-Вычислим коэффициенты Фурье:
+Вычислим *коэффициенты Фурье*:
-$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$
+$a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^{L}x dx = 0$
-$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
+$a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0$
-$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
+$b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
+Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = \frac{2L} \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin \left( \frac{\pi nx} L \right)$
-$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
 
 ### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$
-
 Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
 
-Вычислим коэффициенты Фурье:
+Вычислим *коэффициенты Фурье*:
-$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$
+$a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| dx = L$
-$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
+$a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
-$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
+$b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
+Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac L 2 + \frac{2L}{\pi^2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos \left( \frac{\pi nx} L \right)$
-$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md

@@ -1,45 +1,29 @@
 # Разложение в ряд Фурье непериодической функции
 
 ## Введение
-
 Ряд Фурье обычно используется для разложения периодических функций. Однако, для непериодических функций можно использовать интегральное преобразование Фурье.
 
 ## Интегральное преобразование Фурье
-
+**Интегральное преобразование Фурье** функции $f(x)$ определяется следующим образом: $F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}dx$, где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$.
-Интегральное преобразование Фурье функции $f(x)$ определяется следующим образом:
-$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$
-
-где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$.
 
 ## Обратное преобразование Фурье
-
+**Обратное преобразование Фурье** позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega x} d \omega$
-Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$:
-$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega$
 
 ## Примеры
+1. $f(x) = e^{-|x|}$
+	Вычислим *преобразование Фурье*:
+	$F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-|x|} e^{-i\omega x} dx = \int\limits_{-\infty}^0 e^xe^{-i\omega x}dx + \int\limits_0^\infty e^{-x}e^{-i\omega x} dx$
+	
+	Рассчитаем интегралы:
+	$F(\omega) = \left[ \frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega} \right]_{-\infty}^0 + \left[ \frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)} \right]_0^\infty = \frac 1 {1+\omega^2}$
+	
+	Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac 1 {1+\omega^2} e^{i\omega x} d \omega$
 
-### Пример 1: Функция $f(x)=e^{-|x|}$
+2. $f(x)=e^{-x^2}$
-
+	Вычислим *преобразование Фурье*:
-Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-|x|}$.
+	$F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-i\omega x}dx$
-
+	
-Вычислим преобразование Фурье:
+	Используем известный результат:
-$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}dx$
+	$F(\omega) = \sqrt \pi e^{-\omega^2/4}$
-
+	
-Рассчитаем интегралы:
+	Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью *обратного преобразования Фурье*: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \sqrt \pi e^{-\omega^2/4} e^{i\omega x} d\omega$
-$F(\omega)=\left[\frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega}\right]_{-\infty}^{0}+\left[\frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+\omega^2}$
-
-Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
-$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{i\omega x}d\omega$
-
-### Пример 2: Функция $f(x)=e^{-x^2}$
-
-Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-x^2}$.
-
-Вычислим преобразование Фурье:
-$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-i\omega x}dx$
-
-Используем известный результат:
-$F(\omega)=\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
-
-Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
-$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}e^{i\omega x}d\omega$

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md

@@ -1,46 +1,39 @@
 # Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения
 
 ## Ряды с неотрицательными членами
-
+Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$, где $a_n \geq 0$ для всех $n$.
-Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде:
-$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $
-где $ a_n \geq 0 $ для всех $ n $.
 
 ## Признаки сравнения
-
 Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна.
 
 ### Первый признак сравнения
-
 Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряда с неотрицательными членами, и пусть $0 \leq a_n \leq b_n$ для всех $n$.
 
 - Если ряд $\sum b_n$ сходится, то и ряд $\sum a_n$ сходится.
 - Если ряд $\sum a_n$ расходится, то и ряд $\sum b_n$ расходится.
 
 ### Второй признак сравнения (предельный признак сравнения)
-
 Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел:
-$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$
+$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$
 
 - Если $0 < L < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.
 - Если $L = 0$ и ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ также сходится.
 - Если $L = \infty$ и ряд $\sum b_n$ расходится, то ряд $\sum a_n$ также расходится.
 
 ## Примеры
-
 1. **Сравнение с гармоническим рядом**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.
+	Сравним его с гармоническим рядом $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$, который расходится.
-
+	
-Сравним его с гармоническим рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, который расходится.
+	Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения).
-
-Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения).
 
 2. **Предельный признак сравнения**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$.
+	Сравним его с рядом $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^{3/2}}$.
-
+	
-Сравним его с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$.
+	Вычислим предел: 
-
+	$$
-Вычислим предел:
+		\lim_{n \to \infty} \frac{\frac 1 {n \sqrt n}}{\frac 1 {n^{3/2}}} =
-$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$
+		\lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} =
-
+		\lim_{n \to \infty} \frac 1 {\sqrt{n}} = 0
-Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac{3}{2} > 1$), то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ сходится (по второму признаку сравнения).
+	$$
+	
+	Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac 3 2 > 1$), то и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n \sqrt n}$ сходится (по второму признаку сравнения).

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md

@@ -1,45 +1,37 @@
 # Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
 
 ## Введение
+**Знакоположительные ряды** — это ряды, все члены которых являются положительными числами ^da23a3
 
-Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
+Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
 
 ## Признак Даламбера
-
+**Признак Даламбера** позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
-Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
 
 Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
-$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
+$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
-
+- Если $L < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
-- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
+- Если $L > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ расходится.
-- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
+- Если $L = 1$, то *признак Даламбера* не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
-- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$.
+Вычислим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac n {2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac 1 2$
 
-Вычислим предел:
+Поскольку $\frac 1 2 < 1$, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}$ сходится по *признаку Даламбера*.
-$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$
 
-Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера.
+## Признак Коши
+**Признак Коши** (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
 
-## Признак Коши (корневой признак)
+Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
-
+- Если $L < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
-Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
+- Если $L > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ расходится.
-
+- Если $L = 1$, то *признак Коши* не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
-Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
-$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
-
-- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
-- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
-- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$.
+Вычислим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac n 2 \right)^n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac n 2 = \infty$
 
-Вычислим предел:
+Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n$ расходится по *признаку Коши*.
-$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$
-
-Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md

@@ -1,48 +1,40 @@
 # Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов
 
 ## Введение
+Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4#^da23a3|знакоположительных рядов]], сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.
 
-Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость знакоположительных рядов, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.
+## Формулировка
+Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд: $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$
 
-## Формулировка интегрального признака
+Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл: $\int\limits_1^\infty f(x)dx$
 
-Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд:
+## Доказательство
-$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$
+Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n = \sum\limits_{k=1}^n f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n = \int\limits_1^n f(x)dx$.
-
-Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл:
-$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$
-
-## Доказательство интегрального признака
-
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n=\int_{1}^{n}f(x)dx$.
 
 Поскольку $f(x)$ убывает, можно записать неравенства:
-$f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)$
+$f(k+1) \leq \int\limits_k^{k+1} f(x)dx \leq f(k)$
 
-Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем:
+Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем: $\sum\limits_{k=2}^n f(k) \leq \int\limits_1^n f(x)dx \leq \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)$
-$\sum_{k=2}^{n}f(k)\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$
 
-Или, что эквивалентно:
+Или, что эквивалентно: $S_n - f(1) \leq I_n \leq S_{n-1}$
-$S_n-f(1)\leq I_n\leq S_{n-1}$
 
-Если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
+Если интеграл $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$.
 
-Аналогично, если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
+Аналогично, если интеграл $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$.
 
 ## Примеры
-
 1. **Гармонический ряд**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$.
+	Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$.
-
+	
-Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
+	Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
-$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty$
+	$\int\limits_1^\infty \frac 1 x dx = \left[ \ln x \right]_1^\infty = \infty$
-
+	
-Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ также расходится.
+	Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ также расходится.
 
 2. **Обобщенный гармонический ряд**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$, где $p>1$.
+	Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p>1$.
-
+	
-Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
+	Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
-$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\left[-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}$
+	$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ -\frac 1 {(p-1)x^{p-1}} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$
-
+	
-Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ также сходится при $p>1$.
+	Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$ также сходится при $p>1$.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md

@@ -1,40 +1,26 @@
 # Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.
 
 ## Введение
-
+**Знакочередующиеся ряды** — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
-Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
 
 ## Признак Лейбница
-
+**Признак Лейбница** позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}b_n$, где $b_n$ — положительные числа.
-Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида:
+*Признак Лейбница* утверждает, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
-$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$
-где $b_n$ — положительные числа.
-
-Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
 1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$.
-2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
+2. $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$.
 
 ### Пример
-
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$.
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
+Проверим условия *признака Лейбница*:
-
-Проверим условия признака Лейбница:
 1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$.
-2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.
+2. $\lim\limits_{n\to\infty} \frac 1 n = 0$.
-
+Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ сходится по *признаку Лейбница*.
-Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница.
 
 ## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда
-
+Для сходящегося *знакочередующегося ряда* $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} b_n}$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
-Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
+$|R_n| = |S-S_n| \leq b_{n+1}$, где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
-$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$
-где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
 
 ### Пример
-
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
+Оценка остатка после $n$ членов: $|R_n| \leq \frac 1 {n+1}$
-
+Таким образом, остаток ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.
-Оценка остатка после $n$ членов:
-$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$
-
-Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md

@@ -1,43 +1,29 @@
 # Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
 
 ## Введение
-
+**Знакопеременные ряды** — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость.
-Знакопеременные ряды — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость.
-
-## Абсолютная сходимость
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится.
 
 ## Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда
-
+Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *[[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8#Абсолютной сходимости|абсолютно сходится]]*, то он также *сходится* в обычном смысле. ^446f33
-Теорема Коши утверждает, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
 
 ### Формулировка теоремы
-
+Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ — абсолютно сходящийся ряд, то есть $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ сходится. Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ также сходится.
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — абсолютно сходящийся ряд, то есть $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ также сходится.
-
 ### Доказательство
+Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений $T_n=\sum\limits_{k=1}^n |a_k|$.
 
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений $T_n=\sum_{k=1}^{n}|a_k|$.
+Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
-
-Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
 
 Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m-S_n$ для $m>n$:
-$|S_m-S_n|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|=T_m-T_n$
+$|S_m-S_n| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_k| = T_m-T_n$
 
-Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, сходится.
+Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n$ является фундаментальной (*последовательность Коши*), а значит, сходится.
 
-Таким образом, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
+Таким образом, если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
 
 ## Примеры
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$
+	Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ сходится, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
 
-1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**:
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$.
+	Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e432ca|расходится]], так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^ab323a|гармонический ряд]]. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]].
-
-Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
-
-2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
-
-Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница.
 

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md

@@ -1,39 +1,29 @@
 # Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства
 
 ## Введение
+**Абсолютно сходящиеся ряды** — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств.
 
-Абсолютно сходящиеся ряды — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств.
+## Абсолютной сходимости
 
-## Определение абсолютной сходимости
+Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется **абсолютно сходящимся**, если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ *сходится*.
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится.
 
 ## Свойства абсолютно сходящихся рядов
 
 ### 1. Абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость
-
+Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *абсолютно сходится*, то он также *сходится* в обычном смысле. Это следует из [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7#^446f33|теоремы Коши]] о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
-Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. Это следует из теоремы Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
 
 ### 2. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда
-
+Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *абсолютно сходится*, то любая перестановка его членов также *сходится* и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно).
-Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то любая перестановка его членов также сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно).
 
 ### 3. Линейность абсолютной сходимости
-
+Если ряды $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ *абсолютно сходятся*, то их линейная комбинация $\sum\limits_{n=1}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n)$ также *абсолютно сходится* для любых констант $\alpha$ и $\beta$.
-Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их линейная комбинация $\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)$ также абсолютно сходится для любых констант $\alpha$ и $\beta$.
 
 ### 4. Произведение абсолютно сходящихся рядов
-
+Если ряды $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ *абсолютно сходятся*, то их произведение $\sum\limits_{n=1}^\infty c_n$, где $c_n = \sum\limits_{k=1}^n {a_k b_{n-k}}$, также *абсолютно сходится*.
-Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их произведение $\sum_{n=1}^{\infty}c_n$, где $c_n=\sum_{k=1}^{n}a_kb_{n-k}$, также абсолютно сходится.
 
 ## Примеры
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$
+	Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$ *абсолютно сходится* и, следовательно, сходится в обычном смысле.
 
-1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**:
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$.
+	Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ *расходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^ab323a|гармонический ряд]]. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ *не является абсолютно сходящимся*, но он *сходится* по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]].
-
-Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
-
-2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
-
-Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md

@@ -1,60 +1,50 @@
 # Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.
 
 ## Введение
-
+**Условно сходящиеся ряды** — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости. 
-Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости. 
 
 ## Условно сходящиеся ряды
-
+Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется *условно сходящимся*, если он *сходится*, но ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ *расходится*.
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ расходится.
 
 ## Признак Дирихле
+**Признак Дирихле** позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
 
-Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
+### Формулировка
-
-### Формулировка признака Дирихле
-
 Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
-1. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$.
+1. Частичные суммы $A_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$.
 2. $b_n$ монотонно стремится к нулю, то есть $b_n\to0$ и $b_n\geq b_{n+1}$ для всех $n$.
-
+Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится.
-Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
+Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac 1 n$. Частичные суммы $A_n = \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}$ *ограничены*, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ *монотонно стремится* к нулю. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ сходится по признаку Дирихле.
-
-Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}$ ограничены, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Дирихле.
 
 ## Признак Абеля
+**Признак Абеля** является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
 
-Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
+### Формулировка
-
-### Формулировка признака Абеля
-
 Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
-1. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится.
+1. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
 2. $b_n$ монотонно ограничена, то есть существует такое число $M$, что $|b_n|\leq M$ для всех $n$, и $b_n$ монотонна.
 
-Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
+Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
+Пусть $a_n = (-1)^{n+1}$ и $b_n = \frac 1 n$. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}$ *сходится* по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]]. Последовательность $b_n = \frac 1 n$ *монотонно ограничена*. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$ *сходится* по признаку Абеля.
-
-Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}$ сходится по признаку Лейбница. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно ограничена. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Абеля.
 
 ## Теорема Римана
+**Теорема Римана** утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
 
-Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
+### Формулировка
+Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ — *условно сходящийся* ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд *сходится* к любому заранее заданному числу или расходится.
 
-### Формулировка теоремы Римана
+%%
-
+###
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится.
+Пример
-
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
-### Пример
-
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
-
-Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
 
+Этот ряд *условно сходится*. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
+%%

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md

@@ -1,37 +1,29 @@
 ## Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.
 
-### Определение двойного интеграла
+### Определение
-
 Двойной интеграл функции двух переменных $f(x, y)$ по области $D$ на плоскости $xy$ определяется как предел суммы Римана при стремлении диаметров подобластей к нулю. Формально, если $D$ разбита на $n$ подобластей $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, то двойной интеграл определяется как:
-
+$$\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$
-$$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$
 
 где $(x_i, y_i)$ — произвольная точка в подобласти $D_i$, а $\Delta A_i$ — площадь подобласти $D_i$.
 
-### Свойства двойного интеграла
+### Свойства
-
 1. **Линейность**:
    - Если $f(x, y)$ и $g(x, y)$ интегрируемы на $D$, то для любых констант $a$ и $b$:
-
+   $$\iint\limits_D (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint\limits_D f(x, y) \, dA + b \iint\limits_D g(x, y) \, dA$$
-   $$\iint_{D} (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint_{D} f(x, y) \, dA + b \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$
 
 2. **Аддитивность**:
    - Если $D$ разбита на две непересекающиеся области $D_1$ и $D_2$, то:
-
+   $$\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \iint\limits_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint\limits_{D_2} f(x, y) \, dA$$
-   $$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \iint_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint_{D_2} f(x, y) \, dA.$$
 
 3. **Монотонность**:
    - Если $f(x, y) \geq g(x, y)$ для всех $(x, y)$ в $D$, то:
-
+   $$\iint\limits_D f(x, y) \, dA \geq \iint\limits_D g(x, y) \, dA$$
-   $$\iint_{D} f(x, y) \, dA \geq \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$
 
 4. **Абсолютная интегрируемость**:
    - Если $f(x, y)$ интегрируема на $D$, то и $|f(x, y)|$ также интегрируема на $D$, причем:
-
+   $$\left| \iint\limits_D f(x, y) \, dA \right| \leq \iint\limits_D |f(x, y)| \, dA$$
-   $$\left| \iint_{D} f(x, y) \, dA \right| \leq \iint_{D} |f(x, y)| \, dA.$$
 
 ### Теорема существования двойного интеграла
-
 Теорема существования двойного интеграла утверждает, что если функция $f(x, y)$ непрерывна на замкнутой и ограниченной области $D$, то двойной интеграл $\iint_{D} f(x, y) \, dA$ существует.
 
 Формально, если $f(x, y)$ непрерывна на $D$, то для любого разбиения области $D$ на подобласти $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, сумма Римана:
@@ -41,17 +33,13 @@ $$\sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i$$
 имеет предел при $\delta_i \to 0$, и этот предел не зависит от выбора точек $(x_i, y_i)$ в подобластях $D_i$.
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла. Пусть $f(x, y) = x^2 y$ и область $D$ ограничена прямоугольником с вершинами $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,2)$, $(0,2)$. Тогда двойной интеграл можно вычислить как:
-
+$$\iint\limits_D x^2 y \, dA = \int_0^2 \int_0^1 x^2 y \, dx \, dy$$
-$$\iint_{D} x^2 y \, dA = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x^2 y \, dx \, dy.$$
 
 Вычислим внутренний интеграл:
-
+$$\int\limits_0^1 x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_0^1 = \frac y 3$$
-$$\int_{0}^{1} x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_{0}^{1} = \frac{y}{3}.$$
 
 Теперь вычислим внешний интеграл:
-
+$$\int\limits_0^2 \frac y 3 \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_0^2 = \frac 2 3$$
-$$\int_{0}^{2} \frac{y}{3} \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{3}.$$
 
 Таким образом, значение двойного интеграла равно $\frac{4}{3}$.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md

@@ -1,49 +1,35 @@
 ## Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла
 
 ### 1. Вычисление площади области
-
+Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
-Одной из основных задач, приводящих к понятию двойного интеграла, является вычисление площади области $D$ на плоскости $xy$. Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
+$$A = \iint\limits_D dA = \int\limits_a^b \int\limits_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$
-
-$$A=\iint_{D}dA=\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$
 
 ### 2. Вычисление объема тела
-
 Двойной интеграл также используется для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=f(x,y)$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$. Если $D$ — область на плоскости $xy$, то объем тела можно вычислить как:
-
+$$V = \iint\limits_D f(x,y)\,dA.$$
-$$V=\iint_{D}f(x,y)\,dA.$$
 
 ### 3. Вычисление массы пластины
-
 Если плотность пластины $\rho(x,y)$ задана как функция координат $(x,y)$, то масса пластины, занимающей область $D$, можно вычислить с помощью двойного интеграла:
-
+$$M = \iint\limits_D \rho(x,y)\,dA.$$
-$$M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA.$$
 
 ### 4. Вычисление центра масс пластины
-
 Центр масс пластины с плотностью $\rho(x,y)$ и областью $D$ можно найти, используя двойные интегралы. Координаты центра масс $(x_c,y_c)$ определяются как:
 
-$$x_c=\frac{\iint_{D}x\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$
+$$x_c = \frac{\iint_D x\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$
-
+$$y_c = \frac{\iint_D y\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$
-$$y_c=\frac{\iint_{D}y\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$
 
 ### 5. Вычисление моментов инерции
-
 Моменты инерции пластины относительно осей $x$ и $y$ также можно вычислить с помощью двойных интегралов. Моменты инерции $I_x$ и $I_y$ определяются как:
-
+$$I_x = \iint\limits_D y^2\rho(x,y)\,dA,$$
-$$I_x=\iint_{D}y^2\rho(x,y)\,dA,$$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=x^2+y^2$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$ в пределах круга радиуса 1. Область $D$ — это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В полярных координатах $(r,\theta)$ область $D$ описывается как $0\leq r\leq1$ и $0\leq\theta\leq2\pi$. Тогда объем тела можно вычислить как:
-
+$$V=\iint\limits_D (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2r \, dr \, d\theta$$
-$$V=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2r\,dr\,d\theta.$$
 
 Вычислим внутренний интеграл:
-
+$$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4} 4 \right]_0^1 = \frac 1 4$$
-$$\int_{0}^{1}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.$$
 
 Теперь вычислим внешний интеграл:
-
+$$\int_0^{2\pi} \frac 1 4 \, d\theta = \frac 1 4 \cdot 2\pi = \frac \pi 2$$
-$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta=\frac{1}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}.$$
 
 Таким образом, объем тела равен $\frac{\pi}{2}$.

2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-## Тема 1. Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье. 
+### Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье 
 1. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1|Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. ]]
 2. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2|Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость. ]]
 3. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3| Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. ]]
@@ -22,7 +22,8 @@
 21. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21|Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.]]
 22. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22|Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.]]
 23. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23|Разложение в ряд Фурье непериодической функции.]]
-## Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 
+
+### Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
 24. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24|Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.]]
 25. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25|Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.]]
 26. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26|Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах: сведение двойного интеграла к повторному.]]
@@ -43,4 +44,4 @@
 41. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41|Поверхностные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.]]
 42. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42|Формула Остроградского-Гаусса.]]
 43. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43|Формула Стокса.]]
-44. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44|Приложения поверхностных интегралов второго рода.]]
+44. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44|Приложения поверхностных интегралов второго рода.]]