From 537c87bc481afbcf94c822f19c41d276acd53673 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Sweetbread Date: Fri, 20 Dec 2024 13:09:08 +0300 Subject: [PATCH] Highmath: edit --- .obsidian/plugins/obsidian-git/data.json | 2 +- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md | 29 +++----- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md | 41 ++++-------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md | 42 ++---------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md | 47 ++++++------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md | 62 +++++++---------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md | 66 ++++++------------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md | 63 ++++++++---------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md | 35 ++++------ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md | 59 ++++++++++------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md | 40 ++++------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md | 45 +++++-------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md | 48 ++++---------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md | 53 ++++++--------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md | 26 +++----- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md | 39 +++++------ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md | 52 +++++---------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md | 37 +++++------ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md | 46 ++++++------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md | 54 +++++++-------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md | 40 ++++------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md | 38 ++++------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md | 32 ++++----- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md | 56 +++++++--------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md | 32 +++------ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md | 34 +++------- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md | 7 +- 27 files changed, 411 insertions(+), 714 deletions(-) diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json b/.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json index 0e15941..0949d9f 100644 --- a/.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json @@ -12,7 +12,7 @@ "listChangedFilesInMessageBody": false, "showStatusBar": true, "updateSubmodules": false, - "syncMethod": "merge", + "syncMethod": "rebase", "customMessageOnAutoBackup": false, "autoBackupAfterFileChange": false, "treeStructure": false, diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md index 7610f42..ab771dd 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md @@ -1,33 +1,20 @@ # Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. ## Числовые ряды - -Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: -$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$ -где ($a_n$ ) — общий член ряда. +**Числовой ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$, где $a_n$ — общий член ряда. ## Общий член ряда - -Общий член ряда ( $a_n$ ) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда. Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $( a_n = ar^n )$, где ( $a$ ) — первый член, а ( $r$ ) — отношение между последующими членами. +**Общий член ряда** ($a_n$) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда. +Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $a_n = ar^n$, где *a* — первый член, а *r* — отношение между последующими членами. ## Сумма ряда - -Сумма ряда ( $S$ ) — это предел частичных сумм ( $S_n$ ): -$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$ -где ( $S_n$ = $\sum_{k=1}^{n}a_k$). +**Сумма ряда** (S) — это предел *частичных сумм* $S_n$: $S = \lim\limits_{n \to \infty} S_n$, где $S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$. ## Необходимое условие сходимости ряда - -Необходимое условие сходимости ряда заключается в том, что если ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$) сходится, то его общий член ( $a_n$ ) должен стремиться к нулю при ( $n \to \infty$ ): - $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ - -Однако это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ) расходится, несмотря на то, что его общий член ( $\frac{1}{n}$ ) стремится к нулю. +Если $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *сходится*, то $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$ +Однако это условие не является *достаточным*. Например, гармонический ряд ($\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$) расходится, несмотря на то, что его общий член ($\frac 1 n$) стремится к нулю. ## Примеры - 1. **Геометрический ряд**: -$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ -Сходится, если ( $|r| < 1$ ). - + $\sum\limits_{n=0}^\infty ar^n$ *сходится*, если $|r| < 1$ 2. **Гармонический ряд**: -$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ -Расходится. + $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ *расходится* diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md index e35c9ab..d2f4b01 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md @@ -1,50 +1,35 @@ # Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда. ## Введение - -Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. Они играют важную роль в математике и её приложениях. +**Функциональные ряды** — это ряды, члены которых являются функциями от переменной ## Функциональные ряды - -Функциональный ряд — это ряд вида: -$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ -где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$. +**Функциональный ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$, где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$. ## Частичная сумма и сумма функционального ряда +**Частичная сумма** функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда: $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ ^2cb2e9 -Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда: -$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ - -Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$: -$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$ +**Сумма** функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$: $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)$ ^f4f31b ## Сходимость функционального ряда - -Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится в точке $x_0$, если существует конечный предел: -$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)$ +Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *сходится* в точке $x_0$, если существует конечный предел: $\lim\limits_{n\to\infty} S_n(x_0)$ ## Область сходимости функционального ряда - -Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек $x$, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек. +**Область сходимости** функционального ряда — это множество всех точек, в которых ряд *сходится*. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек. ## Признаки сходимости функциональных рядов ### Признак Вейерштрасса - -Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда. +**Признак Вейерштрасса** позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда. #### Формулировка признака Вейерштрасса +Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$. -Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что: -$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$. +Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$. -Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$. +#### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$. -### Пример +Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$ -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$. - -Оценим $|f_n(x)|$: -$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. +Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md index c351e45..abe886c 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md @@ -1,45 +1,17 @@ # Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда -## Введение - -Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. - ## Равномерная сходимость функциональных рядов - -Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ называется равномерно сходящимся на множестве $D$, если для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство: -$|S(x)-S_n(x)|<\epsilon$ -где $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — сумма ряда, а $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ — частичная сумма ряда. +Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ называется **равномерно сходящимся** на множестве $D$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство: $|S(x)-S_n(x)| < \varepsilon$, где: ^392550 +- $S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b|сумма ряда]] +- $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичная сумма ряда]]. ## Связь между сходимостью и равномерной сходимостью - -Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования. +**Равномерная сходимость** функционального ряда влечет за собой его обычную *сходимость*, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как *непрерывность* суммы ряда и возможность *почленного интегрирования* и *дифференцирования*. ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$. +Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$ -Оценим $|f_n(x)|$: -$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. - -## Признак Вейерштрасса - -Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда. - -### Формулировка признака Вейерштрасса - -Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что: -$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$. - -Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$. - -### Пример - -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$. - -Оценим $|f_n(x)|$: -$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$ - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. +Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]]. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md index 2c8c921..4f1f86e 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md @@ -1,45 +1,36 @@ # Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда ## Введение - Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант. - **Мажоранта** (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точная верхняя и нижняя границы"). +> [!Термин] +> **Мажоранта** (от *majorer* — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точной верхней и нижней границ"). ## Признак Вейерштрасса -### Формулировка признака Вейерштрасса +### Формулировка +Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$. -Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что: -$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$. +Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$. -Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$. -### Доказательство признака Вейерштрасса +### Доказательство +Рассмотрим [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы ряда]] $S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum\limits_{k=1}^n M_k$. -Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum_{k=1}^{n}M_k$. - -Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$. +Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$. Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: -$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k=T_m-T_n$ +$|S_m(x) - S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m f_k(x) \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |f_k(x)| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m M_k = T_m-T_n$ -Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$. +Поскольку последовательность $T_n$ *ограничена*, то и разность $T_m-T_n$ *ограничена*. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$. -## Примеры +### Примеры +1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ + Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$ + + Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. -1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$. - -Оценим $|f_n(x)|$: -$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. - -2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$. - -Оценим $|f_n(x)|$: -$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$ - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. +1. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ + Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}$ + + Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3}$ *сходится*, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md index a1c7f94..fc86c14 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md @@ -3,60 +3,46 @@ ## Свойства равномерно сходящихся рядов ### Непрерывность суммы ряда - -Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ непрерывны на $D$, то сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ также непрерывна на $D$. +Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ *непрерывны* на $D$, то [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b|сумма ряда]] $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ также *непрерывна* на $D$. #### Доказательство +Пусть $\varepsilon > 0$. По определению [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#Равномерная сходимость функциональных рядов|равномерной сходимости]], существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется $|S(x)-S_n(x)| < \frac \varepsilon 3$ -Пусть $\epsilon>0$. По определению равномерной сходимости, существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется: -$|S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}$ - -Поскольку $f_n(x)$ непрерывны, то и частичные суммы $S_n(x)$ непрерывны. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется: -$|S_n(x)-S_n(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}$ +Поскольку $f_n(x)$ *непрерывны*, то и [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы]] $S_n(x)$ *непрерывны*. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется: +$|S_n(x)-S_n(x_0)| < \frac \varepsilon 3$ Тогда: -$|S(x)-S(x_0)|\leq|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(x_0)|+|S_n(x_0)-S(x_0)|<\epsilon$ +$|S(x)-S(x_0)| \leq |S(x)-S_n(x)| + |S_n(x)-S_n(x_0)| + |S_n(x_0)-S(x_0)| < \varepsilon$ Таким образом, $S(x)$ непрерывна на $D$. ### Почленное интегрирование - -Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно: -$\int_{D}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$ +Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно: +$\int\limits_D \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_D f_n(x)dx$ #### Доказательство - Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд равномерно сходится, то: -$\int_{D}S(x)dx=\int_{D}\lim_{n\to\infty}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{D}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{D}f_k(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$ +$$ +\int\limits_D S(x)dx = \int\limits_D \lim_{n\to\infty} S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \int\limits_D S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_D f_k(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int\limits_D f_n(x)dx +$$ ### Почленное дифференцирование - -Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ также равномерно сходится на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно: -$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ +Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и ряд из производных $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$ также *равномерно сходится* на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно: $S'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$ #### Доказательство - -Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то: -$S'(x)=\lim_{n\to\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ +Рассмотрим [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы ряда]] $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то: $S'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} S_n'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n f_k'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$ ## Примеры +1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ + Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$ + + Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]]**. + + Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ *непрерывны*, то и сумма ряда $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *непрерывна*. -1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$. - -Оценим $|f_n(x)|$: -$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. - -Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывна. - -2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$. - -Оценим $|f_n(x)|$: -$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$ - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса. - -Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывна. +1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ + Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}$ + + Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]]. + + Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ *непрерывны*, то и сумма ряда $S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ *непрерывна*. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md index 543eb86..e72ba63 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md @@ -1,60 +1,36 @@ # Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости. -## Введение - -Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. - ## Степенной ряд +**Степенной ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — *коэффициенты*, а $x$ — *переменная*. ^e4c1fc -Степенной ряд имеет вид: -$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ -где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. +**Радиус сходимости** степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ ^92c7d3 -## Радиус сходимости +**Интервал сходимости** степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно. -Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ - -## Интервал сходимости - -Интервал сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно. - -## Промежуток сходимости - -Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$. +**Промежуток сходимости** степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$. ## Первая теорема Абеля +Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#^392550|сходится равномерно]] на интервале $[0,R]$. -Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$. - -### Формулировка первой теоремы Абеля - -Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$. +### Формулировка +Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ *сходится* в точке $x=R$. Тогда ряд *сходится равномерно* на интервале $[0,R]$. ### Доказательство +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ выполняется $|S(R)-S_n(R)| < \varepsilon$ -Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется: -$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$ +Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: $|S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kx^k| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kR^k|$ -Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: -$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ +Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum\limits_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$. -Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$. +### Примеры +1. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ + Найдем радиус сходимости: + $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$ + + Таким образом, ряд сходится для всех $x \in \mathbb{R}$. -## Примеры - -1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. - -Найдем радиус сходимости: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ - -Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. - -2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$. - -Найдем радиус сходимости: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$ - -Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. +1. $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ + Найдем радиус сходимости: + $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1$ + + Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md index ec6613b..0415bf7 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md @@ -2,60 +2,49 @@ ## Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда -### Формулировка теоремы - -Пусть $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$. Тогда: -1. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ абсолютно сходится для всех $|x| 0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ выполняется: +$|S(R)-S_n(R)| < \varepsilon$ -Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется: -$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$ +Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x) - S_n(x)$ для $m > n$: +$|S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kR^k \right|$ -Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: -$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ - -Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$. +Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kR^k \right|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$. ## Примеры -1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. +1. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!}$ + Найдем радиус сходимости: + $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$ + + Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой. -Найдем радиус сходимости: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ - -Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой. - -2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$. - -Найдем радиус сходимости: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$ - -Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-1,1)$, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$. +1. $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ + Найдем радиус сходимости: + $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1$ + + Таким образом, ряд сходится для всех $|x| < 1$ и расходится для всех $|x| > 1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b] \subset (-1,1)$, его сумма $S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md index 25a0ee8..aac4015 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md @@ -1,47 +1,34 @@ # Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда ## Введение - -Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|R$. +**Степенной ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|R$. ## Формула Коши-Адамара - -Формула Коши-Адамара позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ +Формула Коши-Адамара позволяет найти [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc|радиус сходимости]] степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. - -Найдем радиус сходимости: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ +Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$ Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. ## Формула Даламбера - -Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела: -$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ +Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$. - -Найдем радиус сходимости: -$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0$ +Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac 1 {n+1} \right| = 0$ Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$. ## Формула Коши - -Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела: -$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ +Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$. +Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|} = 1$ -Найдем радиус сходимости: -$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}=1$ - -Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. +Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md index 85426ce..74b09f9 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md @@ -3,43 +3,58 @@ ## Почленное интегрирование степенных рядов ### Теорема о почленном интегрировании - -Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$: -$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$ +Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$: +$\int\limits_a^b \left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_a^b a_nx^ndx$ ### Доказательство - -Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд: -$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\int_{a}^{b}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\int_{a}^{b}a_nx^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$ +Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд: +$$ +\int_a^b \left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx = +\int_a^b \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_nx^ndx = \lim_{N\to\infty} \int_a^b \sum_{n=0}^N a_nx^ndx = +\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \int_a^b a_nx^ndx = +\sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_nx^ndx +$$ ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. - -Найдем радиус сходимости: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ +Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$ Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно интегрируем ряд на интервале $[0,1]$: -$\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)}=e-1$ +$$ +\int_0^1 \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) dx = +\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n}{n!}dx = +\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \int_0^1 x^ndx = +\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!(n+1)} = +e-1 +$$ ## Почленное дифференцирование степенных рядов ### Теорема о почленном дифференцировании - -Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале: -$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$ +Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале: +$\left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$ ### Доказательство - -Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд: -$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$ +Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд: +$$ +\left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' = +\lim_{N\to\infty} \left( \sum_{n=0}^N a_nx^n \right)' = +\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \left( a_nx^n \right)' = +\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N na_nx^{n-1} = +\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1} +$$ ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$. - -Найдем радиус сходимости: -$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$ +Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$ Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно дифференцируем ряд: -$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$ +$$ +\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right)' = +\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} = +\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = +\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = +e^x +$$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md index 5b3760b..c8c2cdb 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md @@ -1,61 +1,45 @@ # Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. ## Разложение функций в степенные ряды - -Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид: -$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ +Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ ## Ряды Тейлора и Маклорена ### Ряд Тейлора - -Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид: -$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ - -где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$. +Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$, где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$. ### Ряд Маклорена - -Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$: -$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ +Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ ### Пример - Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$. -Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$: -$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ +Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ ## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора ### Теорема - -Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется: -$|f^{(n)}(x)|\leq M$ +Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется: $|f^{(n)}(x)| \leq M$ для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности. ### Доказательство - Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора: -$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ +$R_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$ По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: -$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ +$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$, где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$. -где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$. +Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)| \leq M$, то: +$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} |x-x_0|^{n+1}$ -Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq M$, то: -$|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$ - -Поскольку $\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$. +Поскольку $\frac M {(n+1)!} |x-x_0|^{n+1} \to 0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$. ## Примеры - 1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**: Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$: -$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ +$\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**: Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$: -$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ \ No newline at end of file +$\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md index 98ba3fd..76e72e4 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md @@ -2,45 +2,36 @@ ## Введение -Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид: -$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$ +**Ряд Маклорена** — это частный случай [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18#Ряд Тейлора|ряда Тейлора]], когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ ## Разложение элементарных функций ### Экспоненциальная функция -Функция $f(x)=e^x$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом: -$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ +Функция $f(x) = e^x$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ #### Доказательство +Вычислим производные функции $f(x) = e^x$: $f^{(n)}(x) = e^x$ -Вычислим производные функции $f(x)=e^x$: -$f^{(n)}(x)=e^x$ - -Таким образом, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена: -$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$ +Таким образом, $f^{(n)}(0) = 1$ для всех $n$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} x^n$ ### Синус - -Функция $f(x)=\sin(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом: -$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ +Функция $f(x) = \sin(x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом: +$$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ #### Доказательство - Вычислим производные функции $f(x)=\sin(x)$: -$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$ -$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$ +$f^{(2n)}(x) = (-1)^n \sin(x)$ +$f^{(2n+1)}(x) = (-1)^n \cos(x)$ -Таким образом, $f^{(2n)}(0)=0$ и $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена: +Таким образом, $f^{(2n)}(0) = 0$ и $f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*: $\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ### Косинус - -Функция $f(x)=\cos(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом: -$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ +Функция $f(x) = \cos(x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом: +$$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ #### Доказательство - Вычислим производные функции $f(x)=\cos(x)$: $f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)$ $f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$ @@ -49,14 +40,12 @@ $f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$ $\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ ### Логарифм - -Функция $f(x)=\ln(1+x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом: -$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$ +Функция $f(x) = \ln(1+x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом: +$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n$$ #### Доказательство +Вычислим производные функции $f(x) = \ln(1+x)$: +$f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}(n-1)! (1+x)^{-n}$ -Вычислим производные функции $f(x)=\ln(1+x)$: -$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ - -Таким образом, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!$. Подставим это в формулу ряда Маклорена: -$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$ \ No newline at end of file +Таким образом, $f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1} (n-1)!$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*: +$\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n$ \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md index 987fe77..aaf809a 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md @@ -1,54 +1,34 @@ # Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость ## Гармонический ряд - -Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: -$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ +**Гармонический ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ ^ab323a ### Сходимость гармонического ряда +Гармонический ряд *расходится*. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. ^e432ca -Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: -$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ - -Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как: -$S_n \approx \ln(n) + \gamma$ -где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони. - +Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: $S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k$ +Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как $S_n \approx \ln(n) + \gamma$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони. Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда. ## Обобщенный гармонический ряд - -Обобщенный гармонический ряд имеет вид: -$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ -где $p$ — положительное число. +**Обобщенный гармонический ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p$ — положительное число. ^e8e233 ### Сходимость обобщенного гармонического ряда - Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$: -- Если $p > 1$, то ряд сходится. +- Если $p > 1$, то ряд сходится. ^5262f4 - Если $p \leq 1$, то ряд расходится. -Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл: -$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ - -Для $p > 1$: -$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}$ - -Для $p \leq 1$: -$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ расходится. - +Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$ +- Для $p > 1$: + $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$ +- Для $p \leq 1$: + $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$ *расходится*. Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$. ## Примеры - 1. **Гармонический ряд**: -$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ -Расходится. - + $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ *расходится* 2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**: -$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ -Сходится, так как $p = 2 > 1$. - + $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ *сходится*, так как $p = 2 > 1$. 3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**: -$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ -Расходится, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$. + $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ *расходится*, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md index 3f6f19a..202f26e 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md @@ -1,60 +1,47 @@ # Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье. ## Введение - -Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. +Тригонометрический **ряд Фурье** — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. ## Тригонометрический ряд Фурье - -Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид: -$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$ - -где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье. +Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$, где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье. ## Коэффициенты Фурье - Коэффициенты Фурье $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами: -$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$ -$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$ +$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)dx$ +$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)dx$ ### Пример - Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$. Вычислим коэффициенты Фурье: -$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0$ -$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)dx=0$ -$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ +$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x dx = 0$ +$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \cos(nx) dx = 0$ +$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac {2(-1)^{n+1}} n$ -Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: -$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$ +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$ ## Достаточное условие разложимости в ряд Фурье ### Теорема - Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале $[-\pi,\pi]$. Тогда $f(x)$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва. ### Доказательство - Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция $f(x)$ кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале $[-\pi,\pi]$, то её ряд Фурье сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва. ## Примеры - 1. **Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$**: -Вычислим коэффициенты Фурье: -$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$ -$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$ -$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)dx=0$ - -Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: -$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$ + Вычислим коэффициенты Фурье: + $a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$ + $a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$ + $b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \sin(nx) dx = 0$ + + Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$ 2. **Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-\pi,\pi]$**: -Вычислим коэффициенты Фурье: -$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$ -$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$ -$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$ - -Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид: -$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$ + Вычислим коэффициенты Фурье: + $a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 dx = \frac{2\pi^2} 3$ + $a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \cos(nx) dx = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ + $b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \sin(nx) dx = 0$ + + Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид: $f(x) = \frac{\pi^2} 3 + 4 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$ \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md index d20e67c..8417057 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md @@ -1,10 +1,8 @@ # Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций ## Введение - -Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. +**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. ## Четные функции - Четная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=f(-x)$. Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены: $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$ @@ -13,30 +11,22 @@ $a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$ $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$ ### Пример - Рассмотрим четную функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$. Вычислим коэффициенты Фурье: -$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$ -$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$ +$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$ +$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$ -Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: -$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$ +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$ ## Нечетные функции +Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x) = -f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены: $f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)$ -Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=-f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены: -$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)$ - -где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами: -$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$ +где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами: $b_n = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) dx$ ### Пример - Рассмотрим нечетную функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$. -Вычислим коэффициенты Фурье: -$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ +Вычислим коэффициенты Фурье: $b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac{2(-1)^{n+1}} n$ -Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: -$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$ +Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md index 1c784db..58a4dcc 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md @@ -1,41 +1,32 @@ # Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода ## Введение - -Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. +**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. ## Разложение функций произвольного периода - -Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид: -$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$ - -где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами: -$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$ -$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$ -$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$ +Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда *ряд Фурье* для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left( a_n\cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) \right)$, где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами: +- $a_0 = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) dx$ +- $a_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$ +- $b_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$ ## Примеры ### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$ - Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$. -Вычислим коэффициенты Фурье: -$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$ -$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$ -$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$ +Вычислим *коэффициенты Фурье*: +$a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^{L}x dx = 0$ +$a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0$ +$b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$ -Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: -$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$ +Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = \frac{2L} \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin \left( \frac{\pi nx} L \right)$ ### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$ - Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$. -Вычислим коэффициенты Фурье: -$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$ -$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$ -$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$ +Вычислим *коэффициенты Фурье*: +$a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| dx = L$ +$a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$ +$b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0$ -Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: -$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$ +Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac L 2 + \frac{2L}{\pi^2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos \left( \frac{\pi nx} L \right)$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md index 7c46b84..46e82dd 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md @@ -1,45 +1,29 @@ # Разложение в ряд Фурье непериодической функции ## Введение - Ряд Фурье обычно используется для разложения периодических функций. Однако, для непериодических функций можно использовать интегральное преобразование Фурье. ## Интегральное преобразование Фурье - -Интегральное преобразование Фурье функции $f(x)$ определяется следующим образом: -$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$ - -где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$. +**Интегральное преобразование Фурье** функции $f(x)$ определяется следующим образом: $F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}dx$, где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$. ## Обратное преобразование Фурье - -Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$: -$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega$ +**Обратное преобразование Фурье** позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega x} d \omega$ ## Примеры +1. $f(x) = e^{-|x|}$ + Вычислим *преобразование Фурье*: + $F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-|x|} e^{-i\omega x} dx = \int\limits_{-\infty}^0 e^xe^{-i\omega x}dx + \int\limits_0^\infty e^{-x}e^{-i\omega x} dx$ + + Рассчитаем интегралы: + $F(\omega) = \left[ \frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega} \right]_{-\infty}^0 + \left[ \frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)} \right]_0^\infty = \frac 1 {1+\omega^2}$ + + Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac 1 {1+\omega^2} e^{i\omega x} d \omega$ -### Пример 1: Функция $f(x)=e^{-|x|}$ - -Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-|x|}$. - -Вычислим преобразование Фурье: -$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}dx$ - -Рассчитаем интегралы: -$F(\omega)=\left[\frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega}\right]_{-\infty}^{0}+\left[\frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+\omega^2}$ - -Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье: -$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{i\omega x}d\omega$ - -### Пример 2: Функция $f(x)=e^{-x^2}$ - -Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-x^2}$. - -Вычислим преобразование Фурье: -$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-i\omega x}dx$ - -Используем известный результат: -$F(\omega)=\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ - -Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье: -$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}e^{i\omega x}d\omega$ +2. $f(x)=e^{-x^2}$ + Вычислим *преобразование Фурье*: + $F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-i\omega x}dx$ + + Используем известный результат: + $F(\omega) = \sqrt \pi e^{-\omega^2/4}$ + + Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью *обратного преобразования Фурье*: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \sqrt \pi e^{-\omega^2/4} e^{i\omega x} d\omega$ diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md index c87bc8b..b5bfa2d 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md @@ -1,46 +1,39 @@ # Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения ## Ряды с неотрицательными членами - -Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде: -$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ -где $ a_n \geq 0 $ для всех $ n $. +Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$, где $a_n \geq 0$ для всех $n$. ## Признаки сравнения - Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна. ### Первый признак сравнения - Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряда с неотрицательными членами, и пусть $0 \leq a_n \leq b_n$ для всех $n$. - Если ряд $\sum b_n$ сходится, то и ряд $\sum a_n$ сходится. - Если ряд $\sum a_n$ расходится, то и ряд $\sum b_n$ расходится. ### Второй признак сравнения (предельный признак сравнения) - Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел: -$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$ +$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$ - Если $0 < L < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ либо оба сходятся, либо оба расходятся. - Если $L = 0$ и ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ также сходится. - Если $L = \infty$ и ряд $\sum b_n$ расходится, то ряд $\sum a_n$ также расходится. ## Примеры - 1. **Сравнение с гармоническим рядом**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$. - -Сравним его с гармоническим рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, который расходится. - -Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения). + Сравним его с гармоническим рядом $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$, который расходится. + + Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения). 2. **Предельный признак сравнения**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$. - -Сравним его с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$. - -Вычислим предел: -$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$ - -Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac{3}{2} > 1$), то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ сходится (по второму признаку сравнения). + Сравним его с рядом $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^{3/2}}$. + + Вычислим предел: + $$ + \lim_{n \to \infty} \frac{\frac 1 {n \sqrt n}}{\frac 1 {n^{3/2}}} = + \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = + \lim_{n \to \infty} \frac 1 {\sqrt{n}} = 0 + $$ + + Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac 3 2 > 1$), то и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n \sqrt n}$ сходится (по второму признаку сравнения). diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md index 36ee0f5..0592b04 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md @@ -1,45 +1,37 @@ # Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов ## Введение +**Знакоположительные ряды** — это ряды, все члены которых являются положительными числами ^da23a3 -Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши. +Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши. ## Признак Даламбера - -Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда. +**Признак Даламбера** позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда. Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел: -$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$ - -- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится. -- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится. -- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда. +$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$ +- Если $L < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится. +- Если $L > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ расходится. +- Если $L = 1$, то *признак Даламбера* не позволяет сделать вывод о сходимости ряда. ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$. +Вычислим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac n {2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac 1 2$ -Вычислим предел: -$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$ +Поскольку $\frac 1 2 < 1$, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}$ сходится по *признаку Даламбера*. -Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера. +## Признак Коши +**Признак Коши** (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда. -## Признак Коши (корневой признак) - -Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда. - -Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел: -$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$ - -- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится. -- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится. -- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда. +Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$ +- Если $L < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится. +- Если $L > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ расходится. +- Если $L = 1$, то *признак Коши* не позволяет сделать вывод о сходимости ряда. ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$. +Вычислим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac n 2 \right)^n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac n 2 = \infty$ -Вычислим предел: -$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$ - -Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши. +Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n$ расходится по *признаку Коши*. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md index 3825091..78ae738 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md @@ -1,48 +1,40 @@ # Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов ## Введение +Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4#^da23a3|знакоположительных рядов]], сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции. -Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость знакоположительных рядов, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции. +## Формулировка +Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд: $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$ -## Формулировка интегрального признака +Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл: $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ -Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд: -$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ - -Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл: -$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ - -## Доказательство интегрального признака - -Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n=\int_{1}^{n}f(x)dx$. +## Доказательство +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n = \sum\limits_{k=1}^n f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n = \int\limits_1^n f(x)dx$. Поскольку $f(x)$ убывает, можно записать неравенства: -$f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)$ +$f(k+1) \leq \int\limits_k^{k+1} f(x)dx \leq f(k)$ -Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем: -$\sum_{k=2}^{n}f(k)\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$ +Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем: $\sum\limits_{k=2}^n f(k) \leq \int\limits_1^n f(x)dx \leq \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)$ -Или, что эквивалентно: -$S_n-f(1)\leq I_n\leq S_{n-1}$ +Или, что эквивалентно: $S_n - f(1) \leq I_n \leq S_{n-1}$ -Если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$. +Если интеграл $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$. -Аналогично, если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$. +Аналогично, если интеграл $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$. ## Примеры - 1. **Гармонический ряд**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$. - -Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл: -$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty$ - -Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ также расходится. + Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$. + + Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл: + $\int\limits_1^\infty \frac 1 x dx = \left[ \ln x \right]_1^\infty = \infty$ + + Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ также расходится. 2. **Обобщенный гармонический ряд**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$, где $p>1$. - -Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл: -$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\left[-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}$ - -Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ также сходится при $p>1$. \ No newline at end of file + Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p>1$. + + Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл: + $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ -\frac 1 {(p-1)x^{p-1}} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$ + + Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$ также сходится при $p>1$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md index 116b1f1..9d77c6b 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md @@ -1,40 +1,26 @@ # Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда. ## Введение - -Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница. +**Знакочередующиеся ряды** — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница. ## Признак Лейбница - -Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида: -$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ -где $b_n$ — положительные числа. - -Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если: +**Признак Лейбница** позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}b_n$, где $b_n$ — положительные числа. +*Признак Лейбница* утверждает, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если: 1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$. -2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$. +2. $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$. ### Пример - -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. - -Проверим условия признака Лейбница: +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$. +Проверим условия *признака Лейбница*: 1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$. -2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$. - -Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница. +2. $\lim\limits_{n\to\infty} \frac 1 n = 0$. +Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ сходится по *признаку Лейбница*. ## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда - -Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом: -$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$ -где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда. +Для сходящегося *знакочередующегося ряда* $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} b_n}$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом: +$|R_n| = |S-S_n| \leq b_{n+1}$, где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда. ### Пример - -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. - -Оценка остатка после $n$ членов: -$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$ - -Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$. +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$. +Оценка остатка после $n$ членов: $|R_n| \leq \frac 1 {n+1}$ +Таким образом, остаток ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md index 1849755..0d54d96 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md @@ -1,43 +1,29 @@ # Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда. ## Введение - -Знакопеременные ряды — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость. - -## Абсолютная сходимость - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. +**Знакопеременные ряды** — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость. ## Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда - -Теорема Коши утверждает, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. +Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *[[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8#Абсолютной сходимости|абсолютно сходится]]*, то он также *сходится* в обычном смысле. ^446f33 ### Формулировка теоремы - -Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — абсолютно сходящийся ряд, то есть $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ также сходится. - +Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ — абсолютно сходящийся ряд, то есть $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ сходится. Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ также сходится. ### Доказательство +Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений $T_n=\sum\limits_{k=1}^n |a_k|$. -Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений $T_n=\sum_{k=1}^{n}|a_k|$. - -Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$. +Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$. Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m-S_n$ для $m>n$: -$|S_m-S_n|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|=T_m-T_n$ +$|S_m-S_n| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_k| = T_m-T_n$ -Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, сходится. +Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n$ является фундаментальной (*последовательность Коши*), а значит, сходится. -Таким образом, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. +Таким образом, если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. ## Примеры +1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$ + Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ сходится, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле. -1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$. - -Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле. - -2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. - -Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница. +1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ + Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e432ca|расходится]], так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^ab323a|гармонический ряд]]. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]]. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md index b5c4164..181478c 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md @@ -1,39 +1,29 @@ # Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства ## Введение +**Абсолютно сходящиеся ряды** — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств. -Абсолютно сходящиеся ряды — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств. +## Абсолютной сходимости -## Определение абсолютной сходимости - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. +Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется **абсолютно сходящимся**, если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ *сходится*. ## Свойства абсолютно сходящихся рядов ### 1. Абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость - -Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. Это следует из теоремы Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда. +Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *абсолютно сходится*, то он также *сходится* в обычном смысле. Это следует из [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7#^446f33|теоремы Коши]] о сходимости абсолютно сходящегося ряда. ### 2. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда - -Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то любая перестановка его членов также сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно). +Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *абсолютно сходится*, то любая перестановка его членов также *сходится* и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно). ### 3. Линейность абсолютной сходимости - -Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их линейная комбинация $\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)$ также абсолютно сходится для любых констант $\alpha$ и $\beta$. +Если ряды $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ *абсолютно сходятся*, то их линейная комбинация $\sum\limits_{n=1}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n)$ также *абсолютно сходится* для любых констант $\alpha$ и $\beta$. ### 4. Произведение абсолютно сходящихся рядов - -Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их произведение $\sum_{n=1}^{\infty}c_n$, где $c_n=\sum_{k=1}^{n}a_kb_{n-k}$, также абсолютно сходится. +Если ряды $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ *абсолютно сходятся*, то их произведение $\sum\limits_{n=1}^\infty c_n$, где $c_n = \sum\limits_{k=1}^n {a_k b_{n-k}}$, также *абсолютно сходится*. ## Примеры +1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$ + Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$ *абсолютно сходится* и, следовательно, сходится в обычном смысле. -1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$. - -Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле. - -2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**: -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. - -Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница. +1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ + Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ *расходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^ab323a|гармонический ряд]]. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ *не является абсолютно сходящимся*, но он *сходится* по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]]. diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md index 9c36cd8..425667f 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md @@ -1,60 +1,50 @@ # Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана. ## Введение - -Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости. +**Условно сходящиеся ряды** — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости. ## Условно сходящиеся ряды - -Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ расходится. +Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется *условно сходящимся*, если он *сходится*, но ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ *расходится*. ## Признак Дирихле +**Признак Дирихле** позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел. -Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел. - -### Формулировка признака Дирихле - +### Формулировка Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям: -1. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$. +1. Частичные суммы $A_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$. 2. $b_n$ монотонно стремится к нулю, то есть $b_n\to0$ и $b_n\geq b_{n+1}$ для всех $n$. - -Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится. +Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится. ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. - -Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}$ ограничены, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Дирихле. +Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac 1 n$. Частичные суммы $A_n = \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}$ *ограничены*, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ *монотонно стремится* к нулю. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ сходится по признаку Дирихле. ## Признак Абеля +**Признак Абеля** является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел. -Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел. - -### Формулировка признака Абеля - +### Формулировка Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям: -1. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится. +1. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится. 2. $b_n$ монотонно ограничена, то есть существует такое число $M$, что $|b_n|\leq M$ для всех $n$, и $b_n$ монотонна. -Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится. +Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится. ### Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$. -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. - -Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}$ сходится по признаку Лейбница. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно ограничена. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Абеля. +Пусть $a_n = (-1)^{n+1}$ и $b_n = \frac 1 n$. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}$ *сходится* по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]]. Последовательность $b_n = \frac 1 n$ *монотонно ограничена*. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$ *сходится* по признаку Абеля. ## Теорема Римана +**Теорема Римана** утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился. -Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился. +### Формулировка +Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ — *условно сходящийся* ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд *сходится* к любому заранее заданному числу или расходится. -### Формулировка теоремы Римана - -Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится. - -### Пример - -Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$. - -Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился. +%% +### +Пример +Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$. +Этот ряд *условно сходится*. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился. +%% \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md index 51ed6c2..bac91f8 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md @@ -1,37 +1,29 @@ ## Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования. -### Определение двойного интеграла - +### Определение Двойной интеграл функции двух переменных $f(x, y)$ по области $D$ на плоскости $xy$ определяется как предел суммы Римана при стремлении диаметров подобластей к нулю. Формально, если $D$ разбита на $n$ подобластей $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, то двойной интеграл определяется как: - -$$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$ +$$\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$ где $(x_i, y_i)$ — произвольная точка в подобласти $D_i$, а $\Delta A_i$ — площадь подобласти $D_i$. -### Свойства двойного интеграла - +### Свойства 1. **Линейность**: - Если $f(x, y)$ и $g(x, y)$ интегрируемы на $D$, то для любых констант $a$ и $b$: - - $$\iint_{D} (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint_{D} f(x, y) \, dA + b \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$ + $$\iint\limits_D (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint\limits_D f(x, y) \, dA + b \iint\limits_D g(x, y) \, dA$$ 2. **Аддитивность**: - Если $D$ разбита на две непересекающиеся области $D_1$ и $D_2$, то: - - $$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \iint_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint_{D_2} f(x, y) \, dA.$$ + $$\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \iint\limits_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint\limits_{D_2} f(x, y) \, dA$$ 3. **Монотонность**: - Если $f(x, y) \geq g(x, y)$ для всех $(x, y)$ в $D$, то: - - $$\iint_{D} f(x, y) \, dA \geq \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$ + $$\iint\limits_D f(x, y) \, dA \geq \iint\limits_D g(x, y) \, dA$$ 4. **Абсолютная интегрируемость**: - Если $f(x, y)$ интегрируема на $D$, то и $|f(x, y)|$ также интегрируема на $D$, причем: - - $$\left| \iint_{D} f(x, y) \, dA \right| \leq \iint_{D} |f(x, y)| \, dA.$$ + $$\left| \iint\limits_D f(x, y) \, dA \right| \leq \iint\limits_D |f(x, y)| \, dA$$ ### Теорема существования двойного интеграла - Теорема существования двойного интеграла утверждает, что если функция $f(x, y)$ непрерывна на замкнутой и ограниченной области $D$, то двойной интеграл $\iint_{D} f(x, y) \, dA$ существует. Формально, если $f(x, y)$ непрерывна на $D$, то для любого разбиения области $D$ на подобласти $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, сумма Римана: @@ -41,17 +33,13 @@ $$\sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i$$ имеет предел при $\delta_i \to 0$, и этот предел не зависит от выбора точек $(x_i, y_i)$ в подобластях $D_i$. ### Пример - Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла. Пусть $f(x, y) = x^2 y$ и область $D$ ограничена прямоугольником с вершинами $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,2)$, $(0,2)$. Тогда двойной интеграл можно вычислить как: - -$$\iint_{D} x^2 y \, dA = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x^2 y \, dx \, dy.$$ +$$\iint\limits_D x^2 y \, dA = \int_0^2 \int_0^1 x^2 y \, dx \, dy$$ Вычислим внутренний интеграл: - -$$\int_{0}^{1} x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_{0}^{1} = \frac{y}{3}.$$ +$$\int\limits_0^1 x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_0^1 = \frac y 3$$ Теперь вычислим внешний интеграл: - -$$\int_{0}^{2} \frac{y}{3} \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{3}.$$ +$$\int\limits_0^2 \frac y 3 \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_0^2 = \frac 2 3$$ Таким образом, значение двойного интеграла равно $\frac{4}{3}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md index 1d31490..3611393 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md @@ -1,49 +1,35 @@ ## Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла ### 1. Вычисление площади области - -Одной из основных задач, приводящих к понятию двойного интеграла, является вычисление площади области $D$ на плоскости $xy$. Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла: - -$$A=\iint_{D}dA=\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$ +Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла: +$$A = \iint\limits_D dA = \int\limits_a^b \int\limits_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$ ### 2. Вычисление объема тела - Двойной интеграл также используется для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=f(x,y)$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$. Если $D$ — область на плоскости $xy$, то объем тела можно вычислить как: - -$$V=\iint_{D}f(x,y)\,dA.$$ +$$V = \iint\limits_D f(x,y)\,dA.$$ ### 3. Вычисление массы пластины - Если плотность пластины $\rho(x,y)$ задана как функция координат $(x,y)$, то масса пластины, занимающей область $D$, можно вычислить с помощью двойного интеграла: - -$$M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA.$$ +$$M = \iint\limits_D \rho(x,y)\,dA.$$ ### 4. Вычисление центра масс пластины - Центр масс пластины с плотностью $\rho(x,y)$ и областью $D$ можно найти, используя двойные интегралы. Координаты центра масс $(x_c,y_c)$ определяются как: -$$x_c=\frac{\iint_{D}x\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$ - -$$y_c=\frac{\iint_{D}y\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$ +$$x_c = \frac{\iint_D x\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$ +$$y_c = \frac{\iint_D y\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$ ### 5. Вычисление моментов инерции - Моменты инерции пластины относительно осей $x$ и $y$ также можно вычислить с помощью двойных интегралов. Моменты инерции $I_x$ и $I_y$ определяются как: - -$$I_x=\iint_{D}y^2\rho(x,y)\,dA,$$ +$$I_x = \iint\limits_D y^2\rho(x,y)\,dA,$$ ### Пример - Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=x^2+y^2$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$ в пределах круга радиуса 1. Область $D$ — это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В полярных координатах $(r,\theta)$ область $D$ описывается как $0\leq r\leq1$ и $0\leq\theta\leq2\pi$. Тогда объем тела можно вычислить как: - -$$V=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2r\,dr\,d\theta.$$ +$$V=\iint\limits_D (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2r \, dr \, d\theta$$ Вычислим внутренний интеграл: - -$$\int_{0}^{1}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.$$ +$$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4} 4 \right]_0^1 = \frac 1 4$$ Теперь вычислим внешний интеграл: - -$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta=\frac{1}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}.$$ +$$\int_0^{2\pi} \frac 1 4 \, d\theta = \frac 1 4 \cdot 2\pi = \frac \pi 2$$ Таким образом, объем тела равен $\frac{\pi}{2}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md index 1b415a3..cd9ab94 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md @@ -1,4 +1,4 @@ -## Тема 1. Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье. +### Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье 1. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1|Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. ]] 2. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2|Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость. ]] 3. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3| Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. ]] @@ -22,7 +22,8 @@ 21. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21|Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.]] 22. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22|Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.]] 23. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23|Разложение в ряд Фурье непериодической функции.]] -## Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы + +### Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 24. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24|Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.]] 25. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25|Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.]] 26. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26|Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах: сведение двойного интеграла к повторному.]] @@ -43,4 +44,4 @@ 41. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41|Поверхностные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.]] 42. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42|Формула Остроградского-Гаусса.]] 43. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43|Формула Стокса.]] -44. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44|Приложения поверхностных интегралов второго рода.]] \ No newline at end of file +44. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44|Приложения поверхностных интегралов второго рода.]]