University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md

Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля.

Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда

Формулировка

Пусть \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n — 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc с 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^92c7d3 R. Тогда:

1. Ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n абсолютно сходится для всех |x|<R.
2. Ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n равномерно сходится на любом замкнутом интервале [a,b]\subset(-R,R).

Доказательство

1. Абсолютная сходимость: Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=0}^\infty |a_nx^n|. Поскольку |x|<R, то |a_nx^n| \leq |a_n|R^n. Ряд \sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|R^n сходится, так как R — радиус сходимости. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=0}^\infty |a_nx^n| сходится, что означает абсолютную сходимость ряда \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n для всех |x|<R.

2. Равномерная сходимость: Пусть [a,b]\subset(-R,R). Тогда существует такое r<R, что [a,b] \subset [-r,r]. Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|r^n. Поскольку r<R, то ряд \sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|r^n сходится. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n равномерно сходится на [a,b] по 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса.

Непрерывность суммы степенного ряда

Если степенной ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n сходится на интервале (-R,R), то его сумма S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n непрерывна на этом интервале.

Доказательство

Поскольку ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n равномерно сходится на любом замкнутом интервале [a,b]\subset(-R,R), то его сумма S(x) непрерывна на (-R,R) как равномерный предел непрерывных функций.

Вторая теорема Абеля

Вторая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n сходится в точке x=R (где R — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале [0,R].

Формулировка

Пусть степенной ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n сходится в точке x=R. Тогда ряд сходится равномерно на интервале [0,R].

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k. Поскольку ряд сходится в точке x=R, то для любого \varepsilon > 0 существует такое число N(\varepsilon), что для всех n \geq N(\varepsilon) выполняется: |S(R)-S_n(R)| < \varepsilon

Теперь рассмотрим разность частичных сумм S_m(x) - S_n(x) для m > n: |S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kR^k \right|

Поскольку ряд сходится в точке x=R, то и разность \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kR^k \right| ограничена. Следовательно, последовательность S_n(x) является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале [0,R].

Примеры

1. \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!} Найдем радиус сходимости: R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty

   Таким образом, ряд сходится для всех x\in\mathbb{R}. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} непрерывна на всей числовой прямой.

2. \sum\limits_{n=0}^\infty x^n Найдем радиус сходимости: R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1

   Таким образом, ряд сходится для всех |x| < 1 и расходится для всех |x| > 1. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале [a,b] \subset (-1,1), его сумма S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n непрерывна на интервале (-1,1).