Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость

Гармонический ряд

Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n ^ab323a

Сходимость гармонического ряда

Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. ^e432ca

Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k Для больших значений n, частичные суммы S_n можно аппроксимировать как S_n \approx \ln(n) + \gamma, где \gamma — постоянная Эйлера-Маскерони. Поскольку \ln(n) \to \infty при n \to \infty, то и S_n \to \infty, что означает расходимость гармонического ряда.

Обобщенный гармонический ряд

Обобщенный гармонический ряд имеет вид \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}, где p — положительное число. ^e8e233

Сходимость обобщенного гармонического ряда

Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения p:

Если p > 1, то ряд сходится. ^5262f4
Если p \leq 1, то ряд расходится.

Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл \int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx

Для p > 1: \int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}
Для p \leq 1: \int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx расходится. Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p \leq 1.

Примеры

Гармонический ряд: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} расходится
Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} сходится, так как p = 2 > 1.
Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}} расходится, так как p = \frac{1}{2} \leq 1.

2.7 KiB Raw Blame History