University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md

Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.

Введение

Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости.

Условно сходящиеся ряды

Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| расходится.

Признак Дирихле

Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n, где a_n и b_n — последовательности чисел.

Формулировка

Пусть a_n и b_n — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:

1. Частичные суммы A_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k ограничены, то есть существует такое число M, что |A_n|\leq M для всех n.
2. b_n монотонно стремится к нулю, то есть b_n\to0 и b_n\geq b_{n+1} для всех n. Тогда ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n сходится.

Пример

Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}.

Пусть a_n=(-1)^{n+1} и b_n=\frac 1 n. Частичные суммы A_n = \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} ограничены, так как |A_n|\leq1 для всех n. Последовательность b_n=\frac{1}{n} монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n} сходится по признаку Дирихле.

Признак Абеля

Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n, где a_n и b_n — последовательности чисел.

Формулировка

Пусть a_n и b_n — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:

1. Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n сходится.
2. b_n монотонно ограничена, то есть существует такое число M, что |b_n|\leq M для всех n, и b_n монотонна.

Тогда ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n сходится.

Пример

Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}.

Пусть a_n = (-1)^{n+1} и b_n = \frac 1 n. Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} сходится по 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница. Последовательность b_n = \frac 1 n монотонно ограничена. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n} сходится по признаку Абеля.

Теорема Римана

Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.

Формулировка

Пусть \sum\limits_{n=1}^\infty a_n — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится.

%%

Пример Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}.

Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился. %%