University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.

Введение

Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.

Признак Лейбница

Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}b_n, где b_n — положительные числа. Признак Лейбница утверждает, что ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n сходится, если:

1. b_n убывает, то есть b_{n+1}\leq b_n для всех n.
2. \lim\limits_{n\to\infty}b_n=0.

Пример

Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}. Проверим условия признака Лейбница:

1. b_n=\frac{1}{n} убывает, так как \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} для всех n.
2. \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1 n = 0. Таким образом, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n} сходится по признаку Лейбница.

Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда

Для сходящегося знакочередующегося ряда \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} b_n} остаток ряда R_n после n членов можно оценить следующим образом: |R_n| = |S-S_n| \leq b_{n+1}, где S — сумма ряда, а S_n — частичная сумма первых n членов ряда.

Пример

Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}. Оценка остатка после n членов: |R_n| \leq \frac 1 {n+1} Таким образом, остаток ряда \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n} после n членов не превосходит \frac{1}{n+1}.