[style](himath): Correct second section
This commit is contained in:
@@ -1,46 +1,33 @@
|
|||||||
>Понятие функции двух переменных:
|
Понятие функции двух переменных
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
|
||||||
|
|
||||||
Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $R^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$.
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Определение
|
||||||
|
Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $\mathbb{R}^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$.
|
||||||
|
|
||||||
$f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x, y)$
|
$f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x, y)$
|
||||||
|
|
||||||
|
# Примеры
|
||||||
Примеры:
|
|
||||||
|
|
||||||
1. $f(x, y) = x^2 + y^2$
|
1. $f(x, y) = x^2 + y^2$
|
||||||
2. $f(x, y) = \sin(x + y)$
|
2. $f(x, y) = \sin(x + y)$
|
||||||
3. $f(x, y) = xy^2 + 3x - 2y$
|
3. $f(x, y) = xy^2 + 3x - 2y$
|
||||||
|
|
||||||
График функции двух переменных:
|
# График функции двух переменных
|
||||||
|
Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $\mathbb{R}^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$.
|
||||||
Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $R^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
$G_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x, y), (x, y) \in D \}$
|
$G_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x, y), (x, y) \in D \}$
|
||||||
|
|
||||||
Область определения:
|
# Область определения
|
||||||
|
|
||||||
Областью определения функции $f(x, y)$ называется множество всех таких пар $(x, y)$, для которых существует значение функции $f(x, y)$.
|
Областью определения функции $f(x, y)$ называется множество всех таких пар $(x, y)$, для которых существует значение функции $f(x, y)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists f(x, y) \}$
|
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists f(x, y) \}$
|
||||||
|
|
||||||
Примеры областей определения:
|
## Примеры:
|
||||||
|
|
||||||
1. $f(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2}$
|
1. $f(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2}$
|
||||||
|
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так:
|
||||||
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так:
|
|
||||||
|
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$
|
||||||
|
|
||||||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$
|
|
||||||
|
|
||||||
2. $f(x, y) = \ln(x + y)$
|
2. $f(x, y) = \ln(x + y)$
|
||||||
|
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так:
|
||||||
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так:
|
|
||||||
|
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$
|
||||||
|
|
||||||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$
|
|
||||||
|
|||||||
@@ -1,134 +1,115 @@
|
|||||||
>Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:
|
Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Определение
|
||||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой области $D$. Точка $(x_0, y_0)$ из области $D$ называется точкой экстремума функции $f(x, y)$, если существует такая окрестность $U$ точки $(x_0, y_0)$, что для всех точек $(x, y)$ из этой окрестности выполняется одно из следующих условий:
|
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой области $D$. Точка $(x_0, y_0)$ из области $D$ называется точкой экстремума функции $f(x, y)$, если существует такая окрестность $U$ точки $(x_0, y_0)$, что для всех точек $(x, y)$ из этой окрестности выполняется одно из следующих условий:
|
||||||
|
|
||||||
1. $f(x_0, y_0) \leq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой минимума функции $f(x, y)$;
|
1. $f(x_0, y_0) \leq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой минимума функции $f(x, y)$;
|
||||||
|
|
||||||
2. $f(x_0, y_0) \geq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой максимума функции $f(x, y)$.
|
2. $f(x_0, y_0) \geq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой максимума функции $f(x, y)$.
|
||||||
|
|
||||||
Если в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$ выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка $(x_0, y_0)$ называется точкой седловой точки функции $f(x, y)$.
|
Если в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$ выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка $(x_0, y_0)$ называется точкой седловой точки функции $f(x, y)$.
|
||||||
|
|
||||||
Необходимое условие экстремума:
|
# Необходимое условие экстремума
|
||||||
|
|
||||||
Теорема. Если точка $(x_0, y_0)$ является точкой экстремума функции $f(x, y)$, то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
|
Теорема. Если точка $(x_0, y_0)$ является точкой экстремума функции $f(x, y)$, то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
|
||||||
|
|
||||||
1. $f'_x(x_0, y_0) = 0$;
|
1. $f'_x(x_0, y_0) = 0$;
|
||||||
|
|
||||||
2. $f'_y(x_0, y_0) = 0$.
|
2. $f'_y(x_0, y_0) = 0$.
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
|
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Замечание:
|
> [!Замечание]
|
||||||
|
> Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$.
|
||||||
Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Достаточное условие экстремума:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Достаточное условие экстремума
|
||||||
Теорема. Пусть точка $(x_0, y_0)$ является стационарной точкой функции $f(x, y)$, т.е. выполняются условия первого порядка:
|
Теорема. Пусть точка $(x_0, y_0)$ является стационарной точкой функции $f(x, y)$, т.е. выполняются условия первого порядка:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
|
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Тогда:
|
Тогда:
|
||||||
|
1. Если $f''_{xx}(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
|
||||||
1. Если $f''_xx(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
|
2. Если $f''_{xx}(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$.
|
||||||
|
3. Если $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
|
||||||
2. Если $f''_xx(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$.
|
4. Если $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет.
|
||||||
|
|
||||||
3. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
4. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет.
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
# Примеры
|
||||||
|
|
||||||
1. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
|
1. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частные производные первого порядка:
|
||||||
Найдем частные производные первого порядка:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
|
||||||
f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
|
||||||
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\begin{cases}
|
||||||
\begin{cases}
|
2x - 2 = 0, \\
|
||||||
2x - 2 = 0, \\
|
2y - 4 = 0
|
||||||
2y - 4 = 0
|
\end{cases}
|
||||||
\end{cases}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Получим точку $(1, 2)$.
|
||||||
Получим точку $(1, 2)$.
|
|
||||||
|
Найдем частные производные второго порядка:
|
||||||
Найдем частные производные второго порядка:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f''_{xx}(x, y) = 2, \quad f''_{yy}(x, y) = 2, \quad f''_{xy}(x, y) = 0
|
||||||
f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = 2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Вычислим определитель матрицы Гессе:
|
||||||
Вычислим определитель матрицы Гессе:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
D = f''_{xx}(1, 2)f''_{yy}(1, 2) - f''_{xy}(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
|
||||||
D = f''\_xx(1, 2)f''\_yy(1, 2) - f''\_xy(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Так как $f''_{xx}(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
|
||||||
Так как $f''\_xx(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
|
|
||||||
|
**Ответ**: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
|
||||||
Ответ: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
|
2. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
|
|
||||||
|
Найдем частные производные первого порядка:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
2x + 2 = 0, \\
|
||||||
|
-2y + 4 = 0
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
Получим точку $(-1, 2)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Найдем частные производные второго порядка:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
f''_{xx}(x, y) = 2, \quad f''_{yy}(x, y) = -2, \quad f''_{xy}(x, y) = 0
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
Вычислим определитель матрицы Гессе:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
D = f''_{xx}(-1, 2)f''_{yy}(-1, 2) - f''_{xy}(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Ответ**: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
|
||||||
|
|
||||||
Решение:
|
> [!?]
|
||||||
|
> Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе.
|
||||||
Найдем частные производные первого порядка:
|
> Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$:
|
||||||
|
> $$
|
||||||
$$
|
|
||||||
f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
|
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
\begin{cases}
|
|
||||||
2x + 2 = 0, \\
|
|
||||||
-2y + 4 = 0
|
|
||||||
\end{cases}
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Получим точку $(-1, 2)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Найдем частные производные второго порядка:
|
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = -2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Вычислим определитель матрицы Гессе:
|
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
D = f''\_xx(-1, 2)f''\_yy(-1, 2) - f''\_xy(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Ответ: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
|
|
||||||
|
|
||||||
>Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе.
|
|
||||||
>Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$:
|
|
||||||
>$$
|
|
||||||
H(f) =
|
H(f) =
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \
|
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \\
|
||||||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \
|
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \\
|
||||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
|
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n^2}
|
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n^2}
|
||||||
\end{pmatrix}
|
\end{pmatrix}
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
@@ -1,52 +1,43 @@
|
|||||||
> Определения предела функции двух переменных:
|
Определения предела функции двух переменных:
|
||||||
|
|
||||||
|
# Предел функции двух переменных
|
||||||
Предел функции одной переменной определяется как значение, к которому функция стремится при приближении аргумента к некоторому значению. В случае функции двух переменных, предел определяется как значение, к которому функция стремится при приближении пары аргументов $(x, y)$ к некоторой точке $(x_0, y_0)$.
|
Предел функции одной переменной определяется как значение, к которому функция стремится при приближении аргумента к некоторому значению. В случае функции двух переменных, предел определяется как значение, к которому функция стремится при приближении пары аргументов $(x, y)$ к некоторой точке $(x_0, y_0)$.
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
## Определение
|
||||||
|
|
||||||
Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$, кроме самой этой точки. Говорят, что функция $f(x, y)$ имеет предел $A$ при $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - A| < \epsilon$.
|
Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$, кроме самой этой точки. Говорят, что функция $f(x, y)$ имеет предел $A$ при $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - A| < \epsilon$.
|
||||||
|
|
||||||
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - A| < \epsilon$
|
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - A| < \epsilon$
|
||||||
|
|
||||||
Замечание:
|
> [!Замечание]
|
||||||
|
> Знак $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ называется расстоянием между точками $(x, y)$ и $(x_0, y_0)$.
|
||||||
Знак $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ называется расстоянием между точками $(x, y)$ и $(x_0, y_0)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
## Примеры
|
||||||
1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
|
||||||
|
|
||||||
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
|
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ не существует.
|
||||||
|
|
||||||
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ не существует.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
|
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ стремится к нулю, так как $r$ в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе.
|
||||||
|
|
||||||
|
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ равен нулю.
|
||||||
|
|
||||||
Решение:
|
## Замечание
|
||||||
|
|
||||||
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ стремится к нулю, так как $r$ в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе.
|
|
||||||
|
|
||||||
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ равен нулю.
|
|
||||||
|
|
||||||
Замечание:
|
|
||||||
|
|
||||||
Метод приведения декартовых координат к полярным состоит в следующем:
|
Метод приведения декартовых координат к полярным состоит в следующем:
|
||||||
|
|
||||||
1. Вычислить радиус-вектор точки $r$ по формуле:
|
1. Вычислить радиус-вектор точки $r$ по формуле:
|
||||||
|
$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$
|
||||||
$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Вычислить угол $\theta$ между положительным направлением горизонтальной оси и радиус-вектором точки по формуле:
|
2. Вычислить угол $\theta$ между положительным направлением горизонтальной оси и радиус-вектором точки по формуле:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\theta = \begin{cases}
|
||||||
\theta = \begin{cases}
|
\arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\
|
||||||
\arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\
|
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\
|
||||||
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\
|
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\
|
||||||
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\
|
\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\
|
||||||
\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\
|
-\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\
|
||||||
-\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\
|
\text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0.
|
||||||
\text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0.
|
\end{cases}
|
||||||
\end{cases}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
@@ -1,79 +1,70 @@
|
|||||||
> Арифметические свойства предела функции двух переменных
|
Арифметические свойства предела функции двух переменных
|
||||||
|
|
||||||
Арифметические свойства предела функции двух переменных:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Определение
|
||||||
1. Сумма пределов равна пределу суммы:
|
1. Сумма пределов равна пределу суммы:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Произведение пределов равно пределу произведения:
|
2. Произведение пределов равно пределу произведения:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
3. Частное пределов равно пределу частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю):
|
3. Частное пределов равно пределу частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю):
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)}
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
4. Предел степени равен степени предела (при условии, что предел основания положителен):
|
4. Предел степени равен степени предела (при условии, что предел основания положителен):
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
5. Предел корня равен корню предела (при условии, что предел подкоренного выражения неотрицателен):
|
5. Предел корня равен корню предела (при условии, что предел подкоренного выражения неотрицателен):
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
# Примеры
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
|
||||||
|
|
||||||
1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
|
||||||
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
|
||||||
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta}
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Так как $\cos 2\theta$ - ограниченная функция, то предел $\lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta$ не существует. Значит, предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также не существует.
|
||||||
Так как $\cos 2\theta$ - ограниченная функция, то предел $\lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta$ не существует. Значит, предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также не существует.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \frac{x y^2}{x^2 + y^4}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \frac{x y^2}{x^2 + y^4}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
|
||||||
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4}
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
|
||||||
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Так как оба предела равны нулю, то предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также равен нулю.
|
||||||
Так как оба предела равны нулю, то предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также равен нулю.
|
|
||||||
@@ -1,67 +1,56 @@
|
|||||||
> Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
|
Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
# Определение
|
||||||
|
Функция $f(x, y)$ называется непрерывной в точке $(x_0, y_0)$, если для любого $\upvarepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \upvarepsilon$.
|
||||||
Функция $f(x, y)$ называется непрерывной в точке $(x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon$.
|
|
||||||
|
|
||||||
В LATEX это выглядит так:
|
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon
|
\forall \upvarepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \upvarepsilon
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Замечание:
|
> [!Замечание]
|
||||||
|
> Если функция $f(x, y)$ непрерывна в точке $(x\_0, y\_0)$, то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке.
|
||||||
|
|
||||||
Если функция $f(x, y)$ непрерывна в точке $(x\_0, y\_0)$, то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке.
|
# Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных:
|
||||||
|
|
||||||
Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных:
|
|
||||||
|
|
||||||
1. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
1. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
||||||
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Произведение непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
2. Произведение непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
||||||
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
3. Частное непрерывных функций является непрерывной функцией (при условии, что знаменатель не равен нулю в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$):
|
3. Частное непрерывных функций является непрерывной функцией (при условии, что знаменатель не равен нулю в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$):
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
||||||
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
4. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
4. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
f(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
# Примеры
|
||||||
f(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
|
||||||
|
|
||||||
1. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2)$.
|
1. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Заметим, что функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке $(1, 2)$:
|
||||||
Заметим, что функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке $(1, 2)$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Так как предел функции в точке $(1, 2)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ непрерывна в точке $(1, 2)$.
|
||||||
Так как предел функции в точке $(1, 2)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ непрерывна в точке $(1, 2)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ в точке $(1, 1)$.
|
2. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ в точке $(1, 1)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Заметим, что функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти ее предел в точке $(1, 1)$:
|
||||||
Заметим, что функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти ее предел в точке $(1, 1)$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0
|
||||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Так как предел функции в точке $(1, 1)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ непрерывна в точке $(1, 1)$.
|
||||||
Так как предел функции в точке $(1, 1)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ непрерывна в точке $(1, 1)$.
|
|
||||||
|
|||||||
@@ -1,27 +1,22 @@
|
|||||||
> Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства:
|
Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства:
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Определение
|
||||||
Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
|
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Обозначается она следующим образом:
|
Обозначается она следующим образом:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
|
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
|
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Обозначается она следующим образом:
|
Обозначается она следующим образом:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
|
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
@@ -32,109 +27,92 @@ $$
|
|||||||
\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y
|
\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Арифметические свойства частных производных и дифференциала:
|
# Арифметические свойства
|
||||||
|
|
||||||
1. Линейность частных производных:
|
1. Линейность частных производных:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y)
|
||||||
(kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Произведение функций:
|
2. Произведение функций:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
3. Частное функций:
|
3. Частное функций:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
4. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов:
|
4. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y)
|
||||||
\Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
5. Дифференциал произведения функций равен сумме произведений функций на дифференциалы:
|
5. Дифференциал произведения функций равен сумме произведений функций на дифференциалы:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y)
|
||||||
\Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
6. Дифференциал частного функций равен частному от разности произведений функций на дифференциалы на квадрат знаменателя:
|
6. Дифференциал частного функций равен частному от разности произведений функций на дифференциалы на квадрат знаменателя:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
# Примеры
|
||||||
\Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)}
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
|
||||||
|
|
||||||
1. Найти частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
1. Найти частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частную производную по переменной $x$:
|
||||||
Найдем частную производную по переменной $x$:
|
$$
|
||||||
|
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2
|
|
||||||
$$
|
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||||
|
$$
|
||||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16
|
Найдем частную производную по переменной $y$:
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||||
Найдем частную производную по переменной $y$:
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||||
f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13
|
||||||
|
$$
|
||||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
|
||||||
|
**Ответ**: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$.
|
||||||
$$
|
|
||||||
f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Ответ: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Найти дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
2. Найти дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частные производные функции:
|
||||||
Найдем частные производные функции:
|
$$
|
||||||
|
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
|
||||||
$$
|
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||||
|
$$
|
||||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
Найдем дифференциал функции:
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
\Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y
|
||||||
Найдем дифференциал функции:
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
**Ответ**: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$.
|
||||||
\Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Ответ: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$.
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|||||||
@@ -1,81 +1,67 @@
|
|||||||
>Уравнение касательной плоскости к поверхности:
|
Уравнение касательной плоскости к поверхности
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Определение
|
||||||
Пусть $z = f(x, y)$ - поверхность, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0, z_0)$, где $z_0 = f(x_0, y_0)$. Касательной плоскостью к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ называется плоскость, проходящая через точку $(x_0, y_0, z_0)$ и имеющая направленный вектор, перпендикулярный вектору нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$.
|
Пусть $z = f(x, y)$ - поверхность, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0, z_0)$, где $z_0 = f(x_0, y_0)$. Касательной плоскостью к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ называется плоскость, проходящая через точку $(x_0, y_0, z_0)$ и имеющая направленный вектор, перпендикулярный вектору нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$.
|
||||||
|
|
||||||
Вектор нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно найти по формуле:
|
Вектор нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно найти по формуле:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\mathbf{n} = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1\right)
|
\mathbf{n} = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1\right)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Уравнение касательной плоскости к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно записать в следующем виде:
|
Уравнение касательной плоскости к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно записать в следующем виде:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
(x - x_0)f'_x(x_0, y_0) + (y - y_0)f'_y(x_0, y_0) - (z - z_0) = 0
|
(x - x_0)f'_x(x_0, y_0) + (y - y_0)f'_y(x_0, y_0) - (z - z_0) = 0
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
# Примеры
|
||||||
|
|
||||||
1. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$.
|
1. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частные производные функции $z = x^2 + y^2$:
|
||||||
Найдем частные производные функции $z = x^2 + y^2$:
|
$$
|
||||||
|
f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y
|
|
||||||
$$
|
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||||
|
$$
|
||||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4
|
Найдем вектор нормали к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
\mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right)
|
||||||
Найдем вектор нормали к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
|
||||||
\mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right)
|
$$
|
||||||
$$
|
(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0
|
||||||
|
$$
|
||||||
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
|
|
||||||
|
Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0
|
2x + 4y - z = 3
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
|
**Ответ**: $2x + 4y - z = 3$.
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
2x + 4y - z = 3
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Ответ: $2x + 4y - z = 3$.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$.
|
2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частные производные функции $z = \sin(x + y)$:
|
||||||
Найдем частные производные функции $z = \sin(x + y)$:
|
$$
|
||||||
|
f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y)
|
|
||||||
$$
|
Подставим значения $x = \pi/4$ и $y = \pi/4$:
|
||||||
|
$$
|
||||||
Подставим значения $x = \pi/4$ и $y = \pi/4$:
|
f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0
|
Заметим, что частные производные функции $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ горизонтальна.
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$:
|
||||||
Заметим, что частные производные функции $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ горизонтальна.
|
$$
|
||||||
|
z = 1
|
||||||
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$:
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
**Ответ**: $z = 1$.
|
||||||
z = 1
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Ответ: $z = 1$.
|
|
||||||
|
|||||||
@@ -1,97 +1,79 @@
|
|||||||
>Производная по направлению. Градиент:
|
Производная по направлению. Градиент
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Определение
|
||||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Производной функции $f(x, y)$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (l_1, l_2)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Производной функции $f(x, y)$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (l_1, l_2)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}
|
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Обозначается она следующим образом:
|
Обозначается она следующим образом:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
|
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Градиентом функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется вектор, составленный из частных производных функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
Градиентом функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется вектор, составленный из частных производных функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)
|
\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Свойства производной по направлению и градиента:
|
# Свойства
|
||||||
|
|
||||||
1. Линейность производной по направлению:
|
1. Линейность производной по направлению:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
|
||||||
\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Произведение функций:
|
2. Произведение функций:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
|
||||||
\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
3. Частное функций:
|
3. Частное функций:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
|
||||||
\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
4. Связь производной по направлению и градиента:
|
4. Связь производной по направлению и градиента:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
|
||||||
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
5. Направление максимального увеличения функции:
|
5. Направление максимального увеличения функции:
|
||||||
|
Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$.
|
||||||
|
|
||||||
Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$.
|
# Примеры
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
|
||||||
|
|
||||||
1. Найти производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$.
|
1. Найти производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||||
Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
$$
|
||||||
|
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
|
||||||
$$
|
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||||
|
$$
|
||||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
|
||||||
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$:
|
||||||
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
|
$$
|
||||||
$$
|
\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
|
||||||
|
$$
|
||||||
Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$:
|
|
||||||
|
**Ответ**: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$.
|
||||||
$$
|
|
||||||
\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Ответ: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Найти направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
2. Найти направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||||
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
$$
|
||||||
|
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
|
|
||||||
$$
|
Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
|
||||||
|
|
||||||
Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
|
**Ответ**: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
|
||||||
|
|
||||||
Ответ: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
|
|
||||||
|
|||||||
@@ -1,7 +1,6 @@
|
|||||||
>Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
|
Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Определение
|
||||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
@@ -9,19 +8,16 @@ $$
|
|||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Обозначается она следующим образом:
|
Обозначается она следующим образом:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
|
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
|
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Обозначается она следующим образом:
|
Обозначается она следующим образом:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
|
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
@@ -41,110 +37,102 @@ f''_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)
|
|||||||
\quad f''_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)
|
\quad f''_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Свойства частных производных и дифференциалов высших порядков:
|
# Свойства
|
||||||
|
|
||||||
1. Линейность частных производных:
|
1. Линейность частных производных:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
|
||||||
(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Произведение функций:
|
2. Произведение функций:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
3. Частные функций:
|
3. Частные функций:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
4. Смешанные производные:
|
4. Смешанные производные:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
# Примеры
|
||||||
f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
|
||||||
|
|
||||||
1. Найти частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$.
|
1. Найти частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||||
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
||||||
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
**Ответ**: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$.
|
||||||
Ответ: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Найти дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
2. Найти дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||||
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
||||||
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
|
||||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||||
Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
|
||||||
d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
**Ответ**: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$.
|
||||||
Ответ: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$.
|
|
||||||
@@ -1,124 +1,110 @@
|
|||||||
>Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
|
Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
|
||||||
|
|
||||||
Определение:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Определение
|
||||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Формула Тейлора для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:
|
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Формула Тейлора для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
|
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
Здесь $f'_x(x_0, y_0)$ и $f'_y(x_0, y_0)$ - частные производные функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$, $o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})$ - остаточный член в форме Пеано.
|
Здесь $f'_x(x_0, y_0)$ и $f'_y(x_0, y_0)$ - частные производные функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$, $o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})$ - остаточный член в форме Пеано.
|
||||||
|
|
||||||
Замечание:
|
> [!Замечание]
|
||||||
|
> Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что:
|
||||||
Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что:
|
> $$
|
||||||
|
> o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot\alpha(x, y)
|
||||||
$$
|
> $$
|
||||||
o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot \alpha(x, y)
|
> причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$.
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Свойства формулы Тейлора:
|
|
||||||
|
|
||||||
|
# Свойства
|
||||||
1. Линейность:
|
1. Линейность:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
|
||||||
(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Произведение функций:
|
2. Произведение функций:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
|
||||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
3. Частное функций:
|
3. Частное функций:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
4. Связь между частными производными и дифференциалами:
|
4. Связь между частными производными и дифференциалами:
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
|
||||||
df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:
|
5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
$$
|
# Примеры
|
||||||
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
|
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
|
||||||
Примеры:
|
|
||||||
|
|
||||||
1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
||||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||||
Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
|
||||||
df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
**Ответ**: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$.
|
||||||
Ответ: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$.
|
|
||||||
|
|
||||||
2. Найти приближенное значение функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1,1, 2, 201)$ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
|
2. Найти приближенное значение функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1,1, 2, 201)$ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
|
||||||
|
**Решение**:
|
||||||
Решение:
|
|
||||||
|
Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$:
|
||||||
Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
|
||||||
f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$:
|
||||||
Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
|
||||||
f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
|
||||||
f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
|
||||||
f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$:
|
||||||
Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$:
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
$$
|
f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
|
||||||
f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
|
$$
|
||||||
$$
|
|
||||||
|
**Ответ**: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.
|
||||||
Ответ: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|||||||
Reference in New Issue
Block a user