University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md

Производная по направлению. Градиент

Определение

Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Производной функции f(x, y) по направлению вектора \mathbf{l} = (l_1, l_2) в точке (x_0, y_0) называется предел:

\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}

Обозначается она следующим образом:

\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}

Градиентом функции f(x, y) в точке (x_0, y_0) называется вектор, составленный из частных производных функции f(x, y) по переменным x и y в точке (x_0, y_0):

\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)

Свойства

1. Линейность производной по направлению:

     frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
   

2. Произведение функций:

     frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
   

3. Частное функций:

     frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
   

4. Связь производной по направлению и градиента:

     frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
   

5. Направление максимального увеличения функции: Направление максимального увеличения функции f(x, y) в точке (x_0, y_0) задается вектором градиента \nabla f(x_0, y_0).

Примеры

1. Найти производную функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 по направлению вектора \mathbf{l} = (2, 3) в точке (1, 2). Решение:

   Найдем частные производные функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:

     '_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
   

   Подставим значения x = 1 и y = 2:

     '_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
   

   Найдем вектор градиента функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):

     nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
   

   Найдем производную функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 по направлению вектора \mathbf{l} = (2, 3) в точке (1, 2):

     frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
   

   Ответ: \frac{df}{dt}(1, 2) = 71.

2. Найти направление максимального увеличения функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2). Решение:

   Найдем вектор градиента функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):

     nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
   

   Направление максимального увеличения функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2) задается вектором градиента \nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right).

   Ответ: \nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right).