diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md index 6f4ab10..59ea905 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md @@ -1,46 +1,33 @@ ->Понятие функции двух переменных: - -Определение: - -Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $R^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$. + Понятие функции двух переменных +# Определение +Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $\mathbb{R}^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$. $f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x, y)$ - -Примеры: - +# Примеры 1. $f(x, y) = x^2 + y^2$ 2. $f(x, y) = \sin(x + y)$ 3. $f(x, y) = xy^2 + 3x - 2y$ -График функции двух переменных: - -Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $R^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$. - - +# График функции двух переменных +Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $\mathbb{R}^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$. $G_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x, y), (x, y) \in D \}$ -Область определения: - +# Область определения Областью определения функции $f(x, y)$ называется множество всех таких пар $(x, y)$, для которых существует значение функции $f(x, y)$. - $D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists f(x, y) \}$ -Примеры областей определения: +## Примеры: 1. $f(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2}$ - -Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так: - - -$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$ + Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так: + + $D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$ 2. $f(x, y) = \ln(x + y)$ - -Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так: - - -$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$ + Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так: + + $D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$ diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md index ed75c8b..3b74d72 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md @@ -1,134 +1,115 @@ ->Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума: - -Определение: + Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума: +# Определение Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой области $D$. Точка $(x_0, y_0)$ из области $D$ называется точкой экстремума функции $f(x, y)$, если существует такая окрестность $U$ точки $(x_0, y_0)$, что для всех точек $(x, y)$ из этой окрестности выполняется одно из следующих условий: - 1. $f(x_0, y_0) \leq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой минимума функции $f(x, y)$; - 2. $f(x_0, y_0) \geq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой максимума функции $f(x, y)$. Если в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$ выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка $(x_0, y_0)$ называется точкой седловой точки функции $f(x, y)$. -Необходимое условие экстремума: - +# Необходимое условие экстремума Теорема. Если точка $(x_0, y_0)$ является точкой экстремума функции $f(x, y)$, то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: - 1. $f'_x(x_0, y_0) = 0$; - 2. $f'_y(x_0, y_0) = 0$. $$ f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0 $$ -Замечание: - -Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$. - -Достаточное условие экстремума: +> [!Замечание] +> Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$. +# Достаточное условие экстремума Теорема. Пусть точка $(x_0, y_0)$ является стационарной точкой функции $f(x, y)$, т.е. выполняются условия первого порядка: - $$ f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0 $$ Тогда: - -1. Если $f''_xx(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$. - -2. Если $f''_xx(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$. - -3. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$. - -4. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет. +1. Если $f''_{xx}(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$. +2. Если $f''_{xx}(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$. +3. Если $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$. +4. Если $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет. -Примеры: - +# Примеры 1. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. - -Решение: - -Найдем частные производные первого порядка: - -$$ -f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4 -$$ - -Найдем стационарные точки, решив систему уравнений: - -$$ -\begin{cases} -2x - 2 = 0, \\ -2y - 4 = 0 -\end{cases} -$$ - -Получим точку $(1, 2)$. - -Найдем частные производные второго порядка: - -$$ -f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = 2, \quad f''\_xy(x, y) = 0 -$$ - -Вычислим определитель матрицы Гессе: - -$$ -D = f''\_xx(1, 2)f''\_yy(1, 2) - f''\_xy(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0 -$$ - -Так как $f''\_xx(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$. - -Ответ: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. + **Решение**: + + Найдем частные производные первого порядка: + + $$ + f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4 + $$ + + Найдем стационарные точки, решив систему уравнений: + + $$ + \begin{cases} + 2x - 2 = 0, \\ + 2y - 4 = 0 + \end{cases} + $$ + + Получим точку $(1, 2)$. + + Найдем частные производные второго порядка: + + $$ + f''_{xx}(x, y) = 2, \quad f''_{yy}(x, y) = 2, \quad f''_{xy}(x, y) = 0 + $$ + + Вычислим определитель матрицы Гессе: + + $$ + D = f''_{xx}(1, 2)f''_{yy}(1, 2) - f''_{xy}(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0 + $$ + + Так как $f''_{xx}(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$. + + **Ответ**: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. 2. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$. + **Решение**: + + Найдем частные производные первого порядка: + $$ + f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4 + $$ + + Найдем стационарные точки, решив систему уравнений: + $$ + \begin{cases} + 2x + 2 = 0, \\ + -2y + 4 = 0 + \end{cases} + $$ + + Получим точку $(-1, 2)$. + + Найдем частные производные второго порядка: + $$ + f''_{xx}(x, y) = 2, \quad f''_{yy}(x, y) = -2, \quad f''_{xy}(x, y) = 0 + $$ + + Вычислим определитель матрицы Гессе: + $$ + D = f''_{xx}(-1, 2)f''_{yy}(-1, 2) - f''_{xy}(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0 + $$ + + Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$. + + **Ответ**: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$. -Решение: - -Найдем частные производные первого порядка: - -$$ -f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4 -$$ - -Найдем стационарные точки, решив систему уравнений: - -$$ -\begin{cases} -2x + 2 = 0, \\ --2y + 4 = 0 -\end{cases} -$$ - -Получим точку $(-1, 2)$. - -Найдем частные производные второго порядка: - -$$ -f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = -2, \quad f''\_xy(x, y) = 0 -$$ - -Вычислим определитель матрицы Гессе: - -$$ -D = f''\_xx(-1, 2)f''\_yy(-1, 2) - f''\_xy(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0 -$$ - -Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$. - -Ответ: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$. - ->Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе. ->Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$: ->$$ +> [!?] +> Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе. +> Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$: +> $$ H(f) = \begin{pmatrix} -\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \ -\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \ -\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ +\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \\ +\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n^2} \end{pmatrix} $$ \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md index eefebdd..a3717bf 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md @@ -1,52 +1,43 @@ -> Определения предела функции двух переменных: + Определения предела функции двух переменных: +# Предел функции двух переменных Предел функции одной переменной определяется как значение, к которому функция стремится при приближении аргумента к некоторому значению. В случае функции двух переменных, предел определяется как значение, к которому функция стремится при приближении пары аргументов $(x, y)$ к некоторой точке $(x_0, y_0)$. -Определение: - +## Определение Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$, кроме самой этой точки. Говорят, что функция $f(x, y)$ имеет предел $A$ при $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - A| < \epsilon$. $\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - A| < \epsilon$ -Замечание: - -Знак $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ называется расстоянием между точками $(x, y)$ и $(x_0, y_0)$. - -Примеры: +> [!Замечание] +> Знак $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ называется расстоянием между точками $(x, y)$ и $(x_0, y_0)$. +## Примеры 1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$. - -Решение: - -Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$. - -Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ не существует. + **Решение**: + Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$. + + Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ не существует. 2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$. + **Решение**: + Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ стремится к нулю, так как $r$ в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе. + + Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ равен нулю. -Решение: - -Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ стремится к нулю, так как $r$ в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе. - -Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ равен нулю. - -Замечание: - +## Замечание Метод приведения декартовых координат к полярным состоит в следующем: 1. Вычислить радиус-вектор точки $r$ по формуле: - -$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ + $$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ 2. Вычислить угол $\theta$ между положительным направлением горизонтальной оси и радиус-вектором точки по формуле: - -$$ -\theta = \begin{cases} -\arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\ -\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\ -\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\ -\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\ --\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\ -\text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0. -\end{cases} -$$ \ No newline at end of file + $$ + \theta = \begin{cases} + \arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\ + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\ + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\ + \frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\ + -\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\ + \text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0. + \end{cases} + $$ \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md index 4faca8f..0a4f442 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md @@ -1,79 +1,70 @@ -> Арифметические свойства предела функции двух переменных - -Арифметические свойства предела функции двух переменных: + Арифметические свойства предела функции двух переменных +# Определение 1. Сумма пределов равна пределу суммы: - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y) -$$ + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y) + $$ 2. Произведение пределов равно пределу произведения: - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y) -$$ + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y) + $$ 3. Частное пределов равно пределу частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю): - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)} -$$ + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)} + $$ 4. Предел степени равен степени предела (при условии, что предел основания положителен): - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n -$$ + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n + $$ 5. Предел корня равен корню предела (при условии, что предел подкоренного выражения неотрицателен): + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)} + $$ -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)} -$$ - -Примеры: - +# Примеры 1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$. - -Решение: - -Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных: - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} -$$ - -Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta} -$$ - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta -$$ - -Так как $\cos 2\theta$ - ограниченная функция, то предел $\lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta$ не существует. Значит, предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также не существует. + **Решение**: + + Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных: + + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + $$ + + Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда + + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta} + $$ + + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta + $$ + + Так как $\cos 2\theta$ - ограниченная функция, то предел $\lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta$ не существует. Значит, предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также не существует. 2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \frac{x y^2}{x^2 + y^4}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$. - -Решение: - -Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных: - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} -$$ - -Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0 -$$ - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0 -$$ - -Так как оба предела равны нулю, то предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также равен нулю. \ No newline at end of file + **Решение**: + + Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных: + + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} + $$ + + Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда + + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0 + $$ + + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0 + $$ + + Так как оба предела равны нулю, то предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также равен нулю. \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md index 0ad87c3..f700dea 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md @@ -1,67 +1,56 @@ -> Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных. + Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных. -Определение: - -Функция $f(x, y)$ называется непрерывной в точке $(x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon$. - -В LATEX это выглядит так: +# Определение +Функция $f(x, y)$ называется непрерывной в точке $(x_0, y_0)$, если для любого $\upvarepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \upvarepsilon$. $$ -\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon +\forall \upvarepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \upvarepsilon $$ -Замечание: +> [!Замечание] +> Если функция $f(x, y)$ непрерывна в точке $(x\_0, y\_0)$, то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке. -Если функция $f(x, y)$ непрерывна в точке $(x\_0, y\_0)$, то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке. - -Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных: +# Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных: 1. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией: - -$$ -f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0) -$$ + $$ + f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0) + $$ 2. Произведение непрерывных функций является непрерывной функцией: - -$$ -f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0) -$$ + $$ + f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0) + $$ 3. Частное непрерывных функций является непрерывной функцией (при условии, что знаменатель не равен нулю в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$): - -$$ -f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0) -$$ + $$ + f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0) + $$ 4. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией: + $$ + f(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0) + $$ -$$ -f(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0) -$$ - -Примеры: - +# Примеры 1. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2)$. - -Решение: - -Заметим, что функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке $(1, 2)$: - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5 -$$ - -Так как предел функции в точке $(1, 2)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ непрерывна в точке $(1, 2)$. + **Решение**: + + Заметим, что функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке $(1, 2)$: + + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5 + $$ + + Так как предел функции в точке $(1, 2)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ непрерывна в точке $(1, 2)$. 2. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ в точке $(1, 1)$. - -Решение: - -Заметим, что функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти ее предел в точке $(1, 1)$: - -$$ -\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0 -$$ - -Так как предел функции в точке $(1, 1)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ непрерывна в точке $(1, 1)$. + **Решение**: + + Заметим, что функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти ее предел в точке $(1, 1)$: + + $$ + \lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0 + $$ + + Так как предел функции в точке $(1, 1)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ непрерывна в точке $(1, 1)$. diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md index 23e0c16..fc7743a 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md @@ -1,27 +1,22 @@ -> Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства: - -Определение: + Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства: +# Определение Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел: - $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} $$ Обозначается она следующим образом: - $$ f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) $$ Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$: - $$ \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} $$ Обозначается она следующим образом: - $$ f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) $$ @@ -32,109 +27,92 @@ $$ \Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y $$ -Арифметические свойства частных производных и дифференциала: - +# Арифметические свойства 1. Линейность частных производных: - -$$ -(kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y) -$$ + $$ + (kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y) + $$ 2. Произведение функций: - -$$ -(f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y) -$$ + $$ + (f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y) + $$ 3. Частное функций: - -$$ -\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ - -$$ -\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ + $$ + \left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ + + $$ + \left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ 4. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов: - -$$ -\Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y) -$$ + $$ + \Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y) + $$ 5. Дифференциал произведения функций равен сумме произведений функций на дифференциалы: - -$$ -\Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) -$$ + $$ + \Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) + $$ 6. Дифференциал частного функций равен частному от разности произведений функций на дифференциалы на квадрат знаменателя: + $$ + \Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ -$$ -\Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ - -Примеры: - +# Примеры 1. Найти частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$. - -Решение: - -Найдем частную производную по переменной $x$: - -$$ -f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2 -$$ - -Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: - -$$ -f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16 -$$ - -Найдем частную производную по переменной $y$: - -$$ -f'_y(x, y) = x^2 + 6xy -$$ - -Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: - -$$ -f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13 -$$ - -Ответ: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$. + **Решение**: + + Найдем частную производную по переменной $x$: + $$ + f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2 + $$ + + Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: + $$ + f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16 + $$ + + Найдем частную производную по переменной $y$: + $$ + f'_y(x, y) = x^2 + 6xy + $$ + + Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: + $$ + f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13 + $$ + + **Ответ**: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$. 2. Найти дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$. - -Решение: - -Найдем частные производные функции: - -$$ -f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy -$$ - -Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: - -$$ -f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13 -$$ - -Найдем дифференциал функции: - -$$ -\Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y -$$ - -Ответ: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$. + **Решение**: + + Найдем частные производные функции: + $$ + f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy + $$ + + Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: + $$ + f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13 + $$ + + Найдем дифференциал функции: + $$ + \Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y + $$ + + **Ответ**: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$. diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md index 819b906..40eb32f 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md @@ -1,81 +1,67 @@ ->Уравнение касательной плоскости к поверхности: - -Определение: + Уравнение касательной плоскости к поверхности +# Определение Пусть $z = f(x, y)$ - поверхность, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0, z_0)$, где $z_0 = f(x_0, y_0)$. Касательной плоскостью к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ называется плоскость, проходящая через точку $(x_0, y_0, z_0)$ и имеющая направленный вектор, перпендикулярный вектору нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$. Вектор нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно найти по формуле: - $$ \mathbf{n} = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1\right) $$ Уравнение касательной плоскости к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно записать в следующем виде: - $$ (x - x_0)f'_x(x_0, y_0) + (y - y_0)f'_y(x_0, y_0) - (z - z_0) = 0 $$ -Примеры: - +# Примеры 1. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$. - -Решение: - -Найдем частные производные функции $z = x^2 + y^2$: - -$$ -f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y -$$ - -Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: - -$$ -f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4 -$$ - -Найдем вектор нормали к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$: - -$$ -\mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right) -$$ - -Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$: - -$$ -(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0 -$$ - -Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду: - -$$ -2x + 4y - z = 3 -$$ - -Ответ: $2x + 4y - z = 3$. + **Решение**: + + Найдем частные производные функции $z = x^2 + y^2$: + $$ + f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y + $$ + + Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: + $$ + f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4 + $$ + + Найдем вектор нормали к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$: + $$ + \mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right) + $$ + + Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$: + $$ + (x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0 + $$ + + Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду: + $$ + 2x + 4y - z = 3 + $$ + + **Ответ**: $2x + 4y - z = 3$. 2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$. - -Решение: - -Найдем частные производные функции $z = \sin(x + y)$: - -$$ -f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y) -$$ - -Подставим значения $x = \pi/4$ и $y = \pi/4$: - -$$ -f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0 -$$ - -Заметим, что частные производные функции $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ горизонтальна. - -Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$: - -$$ -z = 1 -$$ - -Ответ: $z = 1$. + **Решение**: + + Найдем частные производные функции $z = \sin(x + y)$: + $$ + f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y) + $$ + + Подставим значения $x = \pi/4$ и $y = \pi/4$: + $$ + f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0 + $$ + + Заметим, что частные производные функции $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ горизонтальна. + + Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$: + $$ + z = 1 + $$ + + **Ответ**: $z = 1$. diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md index 832be68..aa7ff32 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md @@ -1,97 +1,79 @@ ->Производная по направлению. Градиент: - -Определение: + Производная по направлению. Градиент +# Определение Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Производной функции $f(x, y)$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (l_1, l_2)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел: - $$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t} $$ Обозначается она следующим образом: - $$ \frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l} $$ Градиентом функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется вектор, составленный из частных производных функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ в точке $(x_0, y_0)$: - $$ \nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right) $$ -Свойства производной по направлению и градиента: - +# Свойства 1. Линейность производной по направлению: - -$$ -\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt} -$$ + $$ + \frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt} + $$ 2. Произведение функций: - -$$ -\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} -$$ + $$ + \frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} + $$ 3. Частное функций: - -$$ -\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)} -$$ + $$ + \frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)} + $$ 4. Связь производной по направлению и градиента: - -$$ -\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l} -$$ + $$ + \frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l} + $$ 5. Направление максимального увеличения функции: + Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$. -Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$. - -Примеры: - +# Примеры 1. Найти производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$. - -Решение: - -Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: - -$$ -f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy -$$ - -Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: - -$$ -f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13 -$$ - -Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$: - -$$ -\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right) -$$ - -Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$: - -$$ -\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71 -$$ - -Ответ: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$. + **Решение**: + + Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: + $$ + f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy + $$ + + Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: + $$ + f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13 + $$ + + Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$: + $$ + \nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right) + $$ + + Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$: + $$ + \frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71 + $$ + + **Ответ**: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$. 2. Найти направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$. - -Решение: - -Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$: - -$$ -\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right) -$$ - -Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$. - -Ответ: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$. + **Решение**: + + Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$: + $$ + \nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right) + $$ + + Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$. + + **Ответ**: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$. diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md index 0630437..5c5ac58 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md @@ -1,7 +1,6 @@ ->Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных. - -Определение: + Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных +# Определение Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел: $$ @@ -9,19 +8,16 @@ $$ $$ Обозначается она следующим образом: - $$ f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) $$ Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$: - $$ \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} $$ Обозначается она следующим образом: - $$ f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) $$ @@ -41,110 +37,102 @@ f''_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) \quad f''_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y) $$ -Свойства частных производных и дифференциалов высших порядков: - +# Свойства 1. Линейность частных производных: - -$$ -(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y) -$$ + $$ + (kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y) + $$ 2. Произведение функций: - -$$ -(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y) -$$ + $$ + (f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y) + $$ 3. Частные функций: - -$$ -\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ - -$$ -\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ - -$$ -\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ - -$$ -\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ + $$ + \left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ + + $$ + \left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ + + $$ + \left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ + + $$ + \left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ 4. Смешанные производные: + $$ + f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) + $$ -$$ -f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) -$$ - -Примеры: - +# Примеры 1. Найти частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$. - -Решение: - -Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: - -$$ -f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy -$$ - -Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: - -$$ -f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x -$$ - -Ответ: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$. + **Решение**: + + Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: + + $$ + f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy + $$ + + Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: + + $$ + f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x + $$ + + **Ответ**: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$. 2. Найти дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$. - -Решение: - -Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: - -$$ -f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy -$$ - -Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: - -$$ -f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x -$$ - -Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: - -$$ -f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6 -$$ - -Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$: - -$$ -d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2 -$$ - -Ответ: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$. \ No newline at end of file + **Решение**: + + Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: + + $$ + f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy + $$ + + Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: + + $$ + f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x + $$ + + Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: + + $$ + f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6 + $$ + + Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$: + + $$ + d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2 + $$ + + **Ответ**: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$. \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md index d83df22..ade12b1 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md +++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md @@ -1,124 +1,110 @@ ->Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано. - -Определение: + Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано. +# Определение Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Формула Тейлора для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид: - $$ f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) $$ Здесь $f'_x(x_0, y_0)$ и $f'_y(x_0, y_0)$ - частные производные функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$, $o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})$ - остаточный член в форме Пеано. -Замечание: - -Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что: - -$$ -o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot \alpha(x, y) -$$ - -причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$. - -Свойства формулы Тейлора: +> [!Замечание] +> Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что: +> $$ +> o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot\alpha(x, y) +> $$ +> причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$. +# Свойства 1. Линейность: - -$$ -(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y) -$$ + $$ + (kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y) + $$ 2. Произведение функций: - -$$ -(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y) -$$ - -$$ -(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y) -$$ + $$ + (f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y) + $$ + + $$ + (f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y) + $$ 3. Частное функций: - -$$ -\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ - -$$ -\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)} -$$ + $$ + \left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ + + $$ + \left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)} + $$ 4. Связь между частными производными и дифференциалами: - -$$ -df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy -$$ + $$ + df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy + $$ 5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано: + $$ + f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) + $$ -$$ -f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) -$$ - -Примеры: - +# Примеры 1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$. - -Решение: - -Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: - -$$ -f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy -$$ - -Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: - -$$ -f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13 -$$ - -Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$: - -$$ -df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy -$$ - -Ответ: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$. + **Решение**: + + Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$: + + $$ + f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy + $$ + + Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$: + + $$ + f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13 + $$ + + Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$: + + $$ + df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy + $$ + + **Ответ**: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$. 2. Найти приближенное значение функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1,1, 2, 201)$ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. - -Решение: - -Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$: - -$$ -f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2}) -$$ - -Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$: - -$$ -f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4 -$$ - -$$ -f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5 -$$ - -$$ -f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7 -$$ - -Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$: - -$$ -f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13 -$$ - -Ответ: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$. + **Решение**: + + Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$: + + $$ + f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2}) + $$ + + Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$: + + $$ + f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4 + $$ + + $$ + f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5 + $$ + + $$ + f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7 + $$ + + Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$: + + $$ + f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13 + $$ + + **Ответ**: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.