University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md

Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.

Введение

Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости.

Условно сходящиеся ряды

Ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| расходится.

Признак Дирихле

Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n, где a_n и b_n — последовательности чисел.

Формулировка признака Дирихле

Пусть a_n и b_n — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:

1. Частичные суммы A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k ограничены, то есть существует такое число M, что |A_n|\leq M для всех n.
2. b_n монотонно стремится к нулю, то есть b_n\to0 и b_n\geq b_{n+1} для всех n.

Тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n сходится.

Пример

Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.

Пусть a_n=(-1)^{n+1} и b_n=\frac{1}{n}. Частичные суммы A_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} ограничены, так как |A_n|\leq1 для всех n. Последовательность b_n=\frac{1}{n} монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} сходится по признаку Дирихле.

Признак Абеля

Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n, где a_n и b_n — последовательности чисел.

Формулировка признака Абеля

Пусть a_n и b_n — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:

1. Ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n сходится.
2. b_n монотонно ограничена, то есть существует такое число M, что |b_n|\leq M для всех n, и b_n монотонна.

Тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n сходится.

Пример

Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.

Пусть a_n=(-1)^{n+1} и b_n=\frac{1}{n}. Ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} сходится по признаку Лейбница. Последовательность b_n=\frac{1}{n} монотонно ограничена. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} сходится по признаку Абеля.

Теорема Римана

Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.

Формулировка теоремы Римана

Пусть \sum_{n=1}^{\infty}a_n — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится.

Пример

Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.

Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.