Kirill
2.9 KiB
Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения
Ряды с неотрицательными членами
Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде:
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
где a_n \geq 0 для всех n.
Признаки сравнения
Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна.
Первый признак сравнения
Пусть \sum a_n и \sum b_n — два ряда с неотрицательными членами, и пусть 0 \leq a_n \leq b_n для всех n.
- Если ряд
\sum b_nсходится, то и ряд\sum a_nсходится. - Если ряд
\sum a_nрасходится, то и ряд\sum b_nрасходится.
Второй признак сравнения (предельный признак сравнения)
Пусть \sum a_n и \sum b_n — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел:
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L
- Если
0 < L < \infty, то ряды\sum a_nи\sum b_nлибо оба сходятся, либо оба расходятся. - Если
L = 0и ряд\sum b_nсходится, то ряд\sum a_nтакже сходится. - Если
L = \inftyи ряд\sum b_nрасходится, то ряд\sum a_nтакже расходится.
Примеры
- Сравнение с гармоническим рядом:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.
Сравним его с гармоническим рядом \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}, который расходится.
Поскольку \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n} для всех n, и гармонический ряд расходится, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} сходится (по первому признаку сравнения).
- Предельный признак сравнения:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}.
Сравним его с рядом \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}.
Вычислим предел:
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0
Поскольку ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} сходится (так как p = \frac{3}{2} > 1), то и ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}} сходится (по второму признаку сравнения).