Kirill
2.6 KiB
Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
Гармонический ряд
Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
Сходимость гармонического ряда
Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
Для больших значений n, частичные суммы S_n можно аппроксимировать как:
S_n \approx \ln(n) + \gamma
где \gamma — постоянная Эйлера-Маскерони.
Поскольку \ln(n) \to \infty при n \to \infty, то и S_n \to \infty, что означает расходимость гармонического ряда.
Обобщенный гармонический ряд
Обобщенный гармонический ряд имеет вид:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}
где p — положительное число.
Сходимость обобщенного гармонического ряда
Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения p:
- Если
p > 1, то ряд сходится. - Если
p \leq 1, то ряд расходится.
Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx
Для p > 1:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}
Для p \leq 1:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx расходится.
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p \leq 1.
Примеры
-
Гармонический ряд:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}Расходится. -
Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}Сходится, так какp = 2 > 1. -
Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}Расходится, так какp = \frac{1}{2} \leq 1.