University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md

Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля.

Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда

Формулировка теоремы

Пусть \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n — степенной ряд с радиусом сходимости R. Тогда:

1. Ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n абсолютно сходится для всех |x|<R.
2. Ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n равномерно сходится на любом замкнутом интервале [a,b]\subset(-R,R).

Доказательство

1. Абсолютная сходимость: Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|. Поскольку |x|<R, то |a_nx^n|\leq|a_n|R^n. Ряд \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|R^n сходится, так как R — радиус сходимости. Следовательно, ряд \sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n| сходится, что означает абсолютную сходимость ряда \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n для всех |x|<R.

2. Равномерная сходимость: Пусть [a,b]\subset(-R,R). Тогда существует такое r<R, что [a,b]\subset[-r,r]. Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n. Поскольку r<R, то ряд \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n сходится. Следовательно, ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n равномерно сходится на [a,b] по признаку Вейерштрасса.

Непрерывность суммы степенного ряда

Если степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n сходится на интервале (-R,R), то его сумма S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n непрерывна на этом интервале.

Доказательство

Поскольку ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n равномерно сходится на любом замкнутом интервале [a,b]\subset(-R,R), то его сумма S(x) непрерывна на (-R,R) как равномерный предел непрерывных функций.

Вторая теорема Абеля

Вторая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n сходится в точке x=R (где R — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале [0,R].

Формулировка второй теоремы Абеля

Пусть степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n сходится в точке x=R. Тогда ряд сходится равномерно на интервале [0,R].

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k. Поскольку ряд сходится в точке x=R, то для любого \epsilon>0 существует такое число N(\epsilon), что для всех n\geq N(\epsilon) выполняется: |S(R)-S_n(R)|<\epsilon

Теперь рассмотрим разность частичных сумм S_m(x)-S_n(x) для m>n: |S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|

Поскольку ряд сходится в точке x=R, то и разность \sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k| ограничена. Следовательно, последовательность S_n(x) является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале [0,R].

Примеры

1. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$: Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.

Найдем радиус сходимости: R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty

Таким образом, ряд сходится для всех x\in\mathbb{R}. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} непрерывна на всей числовой прямой.

2. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$: Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}x^n.

Найдем радиус сходимости: R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1

Таким образом, ряд сходится для всех |x|<1 и расходится для всех |x|>1. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале [a,b]\subset(-1,1), его сумма S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n непрерывна на интервале (-1,1).