Kirill
3.1 KiB
Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.
Введение
Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной x. Они играют важную роль в математике и её приложениях.
Функциональные ряды
Функциональный ряд — это ряд вида:
\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)
где f_n(x) — функции от переменной x.
Частичная сумма и сумма функционального ряда
Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых n членов ряда:
S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)
Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при n\to\infty:
S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)
Сходимость функционального ряда
Функциональный ряд \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) сходится в точке x_0, если существует конечный предел:
\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)
Область сходимости функционального ряда
Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек x, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
Признаки сходимости функциональных рядов
Признак Вейерштрасса
Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
Формулировка признака Вейерштрасса
Пусть \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел \sum_{n=1}^{\infty}M_n, такой что:
|f_n(x)|\leq M_n для всех x в области D и для всех n.
Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}M_n сходится, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) равномерно сходится на D.
Пример
Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}.
Оценим |f_n(x)|:
|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}
Ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=2>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.