University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md

Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.

Определение

Функция f(x, y) называется непрерывной в точке (x_0, y_0), если для любого \upvarepsilon > 0 существует \delta > 0 такое, что для всех (x, y) из окрестности точки (x_0, y_0), удовлетворяющих неравенству 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta, выполняется неравенство |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \upvarepsilon.

\forall \upvarepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \upvarepsilon

[!Замечание] Если функция f(x, y) непрерывна в точке (x\_0, y\_0), то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке.

Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных:

1. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией:

     (x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
   

2. Произведение непрерывных функций является непрерывной функцией:

     (x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
   

3. Частное непрерывных функций является непрерывной функцией (при условии, что знаменатель не равен нулю в некоторой окрестности точки (x_0, y_0)):

     (x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
   

4. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией:

     (x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
   

Примеры

1. Проверить непрерывность функции f(x, y) = x^2 + y^2 в точке (1, 2). Решение:

   Заметим, что функция f(x, y) = x^2 + y^2 определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке (1, 2):

     lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5
   

   Так как предел функции в точке (1, 2) существует и равен ее значению в этой точке, то функция f(x, y) = x^2 + y^2 непрерывна в точке (1, 2).

2. Проверить непрерывность функции f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} в точке (1, 1). Решение:

   Заметим, что функция f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} не определена в точке (0, 0). Поэтому мы должны найти ее предел в точке (1, 1):

     lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0
   

   Так как предел функции в точке (1, 1) существует и равен ее значению в этой точке, то функция f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} непрерывна в точке (1, 1).