University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md

Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:

Определение

Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой области D. Точка (x_0, y_0) из области D называется точкой экстремума функции f(x, y), если существует такая окрестность U точки (x_0, y_0), что для всех точек (x, y) из этой окрестности выполняется одно из следующих условий:

1. f(x_0, y_0) \leq f(x, y) для всех (x, y) \in U - точка (x_0, y_0) называется точкой минимума функции f(x, y);
2. f(x_0, y_0) \geq f(x, y) для всех (x, y) \in U - точка (x_0, y_0) называется точкой максимума функции f(x, y).

Если в некоторой окрестности точки (x_0, y_0) выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка (x_0, y_0) называется точкой седловой точки функции f(x, y).

Необходимое условие экстремума

Теорема. Если точка (x_0, y_0) является точкой экстремума функции f(x, y), то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. f'_x(x_0, y_0) = 0;
2. f'_y(x_0, y_0) = 0.

f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0

[!Замечание] Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка (x_0, y_0) называется стационарной точкой функции f(x, y).

Достаточное условие экстремума

Теорема. Пусть точка (x_0, y_0) является стационарной точкой функции f(x, y), т.е. выполняются условия первого порядка:

f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0

Тогда:

1. Если f''_{xx}(x_0, y_0) > 0 и D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 > 0, то точка (x_0, y_0) является точкой минимума функции f(x, y).
2. Если f''_{xx}(x_0, y_0) < 0 и D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 > 0, то точка (x_0, y_0) является точкой максимума функции f(x, y).
3. Если D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 < 0, то точка (x_0, y_0) является седловой точкой функции f(x, y).
4. Если D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 = 0, то достаточного условия экстремума нет.

Примеры

1. Найти экстремумы функции f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5. Решение:

   Найдем частные производные первого порядка:

     '_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
   

   Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:

     begin{cases}
    x - 2 = 0, \\
    y - 4 = 0
    end{cases}
   

   Получим точку (1, 2).

   Найдем частные производные второго порядка:

     ''_{xx}(x, y) = 2, \quad f''_{yy}(x, y) = 2, \quad f''_{xy}(x, y) = 0
   

   Вычислим определитель матрицы Гессе:

      = f''_{xx}(1, 2)f''_{yy}(1, 2) - f''_{xy}(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
   

   Так как f''_{xx}(1, 2) > 0, то точка (1, 2) является точкой минимума функции f(x, y).

   Ответ: Точка (1, 2) - точка минимума функции f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.

2. Найти экстремумы функции f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5. Решение:

   Найдем частные производные первого порядка:

     '_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
   

   Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:

     begin{cases}
    x + 2 = 0, \\
    2y + 4 = 0
    end{cases}
   

   Получим точку (-1, 2).

   Найдем частные производные второго порядка:

     ''_{xx}(x, y) = 2, \quad f''_{yy}(x, y) = -2, \quad f''_{xy}(x, y) = 0
   

   Вычислим определитель матрицы Гессе:

      = f''_{xx}(-1, 2)f''_{yy}(-1, 2) - f''_{xy}(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
   

   Так как D < 0, то точка (-1, 2) является седловой точкой функции f(x, y).

   Ответ: Точка (-1, 2) - седловая точка функции f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5.

[!?] Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе. Пусть f(x_1, x_2, ..., x_n) - функция n переменных, заданная в некоторой области D. Тогда матрицей Гессе функции f называется матрица H(f), составленная из вторых частных производных функции f:

H(f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}