University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md

Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

Введение

Знакопеременные ряды — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость.

Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда

Если ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8#Абсолютной сходимости, то он также сходится в обычном смысле. ^446f33

Формулировка теоремы

Пусть \sum\limits_{n=1}^\infty a_n — абсолютно сходящийся ряд, то есть \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| сходится. Тогда ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n также сходится.

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений T_n=\sum\limits_{k=1}^n |a_k|.

Поскольку ряд \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| сходится, то последовательность T_n ограничена. Это означает, что существует такое число M, что T_n\leq M для всех n.

Теперь рассмотрим разность частичных сумм S_m-S_n для m>n: |S_m-S_n| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_k| = T_m-T_n

Поскольку последовательность T_n ограничена, то и разность T_m-T_n ограничена. Следовательно, последовательность S_n является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, сходится.

Таким образом, если ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.

Примеры

1. \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}} Ряд из абсолютных значений \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} сходится, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233 с p=2>1. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}} абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.

2. \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n} Ряд из абсолютных значений \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e432ca, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^ab323a. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} не является абсолютно сходящимся, но он сходится по 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница.