University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md

Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов

Введение

Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4#^da23a3, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.

Формулировка

Пусть f(x) — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале [1, \infty). Рассмотрим ряд: \sum\limits_{n=1}^\infty f(n)

Интегральный признак утверждает, что ряд \sum\limits_{n=1}^\infty f(n) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл: \int\limits_1^\infty f(x)dx

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n = \sum\limits_{k=1}^n f(k) и соответствующие интегралы I_n = \int\limits_1^n f(x)dx.

Поскольку f(x) убывает, можно записать неравенства: f(k+1) \leq \int\limits_k^{k+1} f(x)dx \leq f(k)

Суммируя эти неравенства от k=1 до k=n-1, получаем: \sum\limits_{k=2}^n f(k) \leq \int\limits_1^n f(x)dx \leq \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)

Или, что эквивалентно: S_n - f(1) \leq I_n \leq S_{n-1}

Если интеграл \int\limits_1^\infty f(x)dx сходится, то I_n ограничено, и, следовательно, S_n также ограничено, что означает сходимость ряда \sum\limits_{n=1}^\infty f(n).

Аналогично, если интеграл \int\limits_1^\infty f(x)dx расходится, то I_n не ограничено, и, следовательно, S_n также не ограничено, что означает расходимость ряда \sum\limits_{n=1}^\infty f(n).

Примеры

1. Гармонический ряд: Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n.

   Функция f(x)=\frac{1}{x} убывает и положительна на [1, \infty). Вычислим интеграл: \int\limits_1^\infty \frac 1 x dx = \left[ \ln x \right]_1^\infty = \infty

   Поскольку интеграл расходится, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n также расходится.

2. Обобщенный гармонический ряд: Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}, где p>1.

   Функция f(x)=\frac{1}{x^p} убывает и положительна на [1, \infty). Вычислим интеграл: \int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ -\frac 1 {(p-1)x^{p-1}} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}

   Поскольку интеграл сходится, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p} также сходится при p>1.