Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов

Введение

Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами ^da23a3

Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.

Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда \sum_{n=1}^{\infty} a_n на основе предела отношения последовательных членов ряда.

Пусть a_n > 0 для всех n. Рассмотрим предел: \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L

Если L < 1, то ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n сходится.
Если L > 1, то ряд \sum\limits_{n=1}^\infty a_n расходится.
Если L = 1, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.

Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}.

Вычислим предел: \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac n {2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac 1 2

Поскольку \frac 1 2 < 1, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n} сходится по признаку Даламбера.

Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда \sum\limits_{n=1}^\infty a_n на основе предела корня из $n$-го члена ряда.

Пусть a_n > 0 для всех n. Рассмотрим предел: \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L

Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n.

Вычислим предел: \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac n 2 \right)^n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac n 2 = \infty

Поскольку \infty > 1, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n расходится по признаку Коши.