Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения

Ряды с неотрицательными членами

Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде: \sum\limits_{n=1}^\infty a_n, где a_n \geq 0 для всех n.

Признаки сравнения

Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна.

Первый признак сравнения

Пусть \sum a_n и \sum b_n — два ряда с неотрицательными членами, и пусть 0 \leq a_n \leq b_n для всех n.

Если ряд \sum b_n сходится, то и ряд \sum a_n сходится.
Если ряд \sum a_n расходится, то и ряд \sum b_n расходится.

Второй признак сравнения (предельный признак сравнения)

Пусть \sum a_n и \sum b_n — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел: \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L

Если 0 < L < \infty, то ряды \sum a_n и \sum b_n либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Если L = 0 и ряд \sum b_n сходится, то ряд \sum a_n также сходится.
Если L = \infty и ряд \sum b_n расходится, то ряд \sum a_n также расходится.

Примеры

Сравнение с гармоническим рядом: Сравним его с гармоническим рядом \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n, который расходится.

Поскольку \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n} для всех n, и гармонический ряд расходится, то ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} сходится (по первому признаку сравнения).
Предельный признак сравнения: Сравним его с рядом \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^{3/2}}.

Вычислим предел:
```
  \lim_{n \to \infty} \frac{\frac 1 {n \sqrt n}}{\frac 1 {n^{3/2}}} =
 \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} =
 \lim_{n \to \infty} \frac 1 {\sqrt{n}} = 0
```
Поскольку ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^{3/2}} сходится (так как p = \frac 3 2 > 1), то и ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n \sqrt n} сходится (по второму признаку сравнения).

2.8 KiB Raw Blame History

Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения