University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md

Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье.

Введение

Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции f(x) имеет вид: f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)), где a_n и b_n — коэффициенты Фурье.

Коэффициенты Фурье

Коэффициенты Фурье a_n и b_n определяются следующими формулами: a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)dx b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)dx

Пример

Рассмотрим функцию f(x)=x на интервале [-\pi,\pi].

Вычислим коэффициенты Фурье: a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x dx = 0 a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \cos(nx) dx = 0 b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac {2(-1)^{n+1}} n

Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=x имеет вид: f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)

Достаточное условие разложимости в ряд Фурье

Теорема

Пусть f(x) — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале [-\pi,\pi]. Тогда f(x) разлагается в ряд Фурье, который сходится к f(x) в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.

Доказательство

Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция f(x) кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале [-\pi,\pi], то её ряд Фурье сходится к f(x) в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.

Примеры

1. Функция f(x)=|x| на интервале $[-\pi,\pi]$: Вычислим коэффициенты Фурье: a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2} b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \sin(nx) dx = 0

   Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=|x| имеет вид: f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)

2. Функция f(x)=x^2 на интервале $[-\pi,\pi]$: Вычислим коэффициенты Фурье: a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 dx = \frac{2\pi^2} 3 a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \cos(nx) dx = \frac{4(-1)^n}{n^2} b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \sin(nx) dx = 0

   Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=x^2 имеет вид: f(x) = \frac{\pi^2} 3 + 4 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)