University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md

Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда.

Свойства равномерно сходящихся рядов

Непрерывность суммы ряда

Если функциональный ряд \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) равномерно сходится на множестве D, и все функции f_n(x) непрерывны на D, то 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) также непрерывна на D.

Доказательство

Пусть \varepsilon > 0. По определению 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#Равномерная сходимость функциональных рядов, существует такое число N(\varepsilon), что для всех n \geq N(\varepsilon) и для всех x\in D выполняется |S(x)-S_n(x)| < \frac \varepsilon 3

Поскольку f_n(x) непрерывны, то и 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9 S_n(x) непрерывны. Следовательно, для любого x_0\in D существует такое \delta>0, что для всех x\in D таких, что |x-x_0|<\delta, выполняется: |S_n(x)-S_n(x_0)| < \frac \varepsilon 3

Тогда: |S(x)-S(x_0)| \leq |S(x)-S_n(x)| + |S_n(x)-S_n(x_0)| + |S_n(x_0)-S(x_0)| < \varepsilon

Таким образом, S(x) непрерывна на D.

Почленное интегрирование

Если функциональный ряд \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) равномерно сходится на множестве D, и все функции f_n(x) интегрируемы на D, то ряд можно интегрировать почленно: \int\limits_D \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_D f_n(x)dx

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x). Поскольку ряд равномерно сходится, то:

\int\limits_D S(x)dx = \int\limits_D \lim_{n\to\infty} S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \int\limits_D S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_D f_k(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int\limits_D f_n(x)dx

Почленное дифференцирование

Если функциональный ряд \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) равномерно сходится на множестве D, и ряд из производных \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x) также равномерно сходится на D, то ряд можно дифференцировать почленно: S'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)

Доказательство

Рассмотрим 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9 S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x). Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то: S'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} S_n'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n f_k'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)

Примеры

1. \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} Оценим |f_n(x)|: \left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}

   Ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233 с p=2>1. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} равномерно сходится на всей числовой прямой по 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса**.

   Поскольку все функции \frac{\sin(nx)}{n^2} непрерывны, то и сумма ряда S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} непрерывна.

2. \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3} Оценим |f_n(x)|: \left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}

   Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3} сходится, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233 с p=3>1. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3} равномерно сходится на всей числовой прямой по 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса.

   Поскольку все функции \frac{\cos(nx)}{n^3} непрерывны, то и сумма ряда S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3} непрерывна.