3.1 KiB
Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.
Введение
Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной
Функциональные ряды
Функциональный ряд — это ряд вида \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x), где f_n(x) — функции от переменной x.
Частичная сумма и сумма функционального ряда
Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых n членов ряда: S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x) ^2cb2e9
Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при n\to\infty: S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x) ^f4f31b
Сходимость функционального ряда
Функциональный ряд \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) сходится в точке x_0, если существует конечный предел: \lim\limits_{n\to\infty} S_n(x_0)
Область сходимости функционального ряда
Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
Признаки сходимости функциональных рядов
Признак Вейерштрасса
Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
Формулировка признака Вейерштрасса
Пусть \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел \sum\limits_{n=1}^\infty M_n, такой что \forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n.
Если ряд \sum\limits_{n=1}^\infty M_n сходится, то ряд \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) равномерно сходится на D.
Пример
Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}.
Оценим |f_n(x)|: \left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}
Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} сходится, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233 с p=2>1. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.