University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md

Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.

Определение:

Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Формула Тейлора для функции f(x, y) в точке (x_0, y_0) с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:

f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})

Здесь f'_x(x_0, y_0) и f'_y(x_0, y_0) - частные производные функции f(x, y) по переменным x и y соответственно в точке (x_0, y_0), o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) - остаточный член в форме Пеано.

Замечание:

Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция \alpha(x, y), что:

o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot \alpha(x, y)

причем \alpha(x, y) \rightarrow 0 при (x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0).

Свойства формулы Тейлора:

1. Линейность:

(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)

(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)

2. Произведение функций:

(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)

(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)

3. Частное функций:

\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}

\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}

4. Связь между частными производными и дифференциалами:

df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy

5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:

f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})

Примеры:

1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2).

Решение:

Найдем частные производные первого порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:

f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy

Подставим значения x = 1 и y = 2:

f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13

Найдем дифференциал функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):

df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy

Ответ: f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy.

2. Найти приближенное значение функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1,1, 2, 201) с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Решение:

Воспользуемся формулой Тейлора для функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 1):

f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})

Найдем значения функции и частных производных в точке (1, 1):

f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4

f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5

f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7

Подставим значения x = 2,01 и y = 2,02:

f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13

Ответ: f(2,01, 2,02) \approx 25,13.