3.6 KiB
Производная по направлению. Градиент:
Определение:
Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Производной функции f(x, y) по направлению вектора \mathbf{l} = (l_1, l_2) в точке (x_0, y_0) называется предел:
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}
Обозначается она следующим образом:
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
Градиентом функции f(x, y) в точке (x_0, y_0) называется вектор, составленный из частных производных функции f(x, y) по переменным x и y в точке (x_0, y_0):
\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)
Свойства производной по направлению и градиента:
- Линейность производной по направлению:
\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
- Произведение функций:
\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
- Частное функций:
\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
- Связь производной по направлению и градиента:
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
- Направление максимального увеличения функции:
Направление максимального увеличения функции f(x, y) в точке (x_0, y_0) задается вектором градиента \nabla f(x_0, y_0).
Примеры:
- Найти производную функции
f(x, y) = x^2y + 3xy^2по направлению вектора\mathbf{l} = (2, 3)в точке(1, 2).
Решение:
Найдем частные производные функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
Подставим значения x = 1 и y = 2:
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
Найдем вектор градиента функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
Найдем производную функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 по направлению вектора \mathbf{l} = (2, 3) в точке (1, 2):
\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
Ответ: \frac{df}{dt}(1, 2) = 71.
- Найти направление максимального увеличения функции
f(x, y) = x^2y + 3xy^2в точке(1, 2).
Решение:
Найдем вектор градиента функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
Направление максимального увеличения функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2) задается вектором градиента \nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right).
Ответ: \nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right).