3.1 KiB
Уравнение касательной плоскости к поверхности:
Определение:
Пусть z = f(x, y) - поверхность, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0, z_0), где z_0 = f(x_0, y_0). Касательной плоскостью к поверхности z = f(x, y) в точке (x_0, y_0, z_0) называется плоскость, проходящая через точку (x_0, y_0, z_0) и имеющая направленный вектор, перпендикулярный вектору нормали к поверхности z = f(x, y) в точке (x_0, y_0, z_0).
Вектор нормали к поверхности z = f(x, y) в точке (x_0, y_0, z_0) можно найти по формуле:
\mathbf{n} = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1\right)
Уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в точке (x_0, y_0, z_0) можно записать в следующем виде:
(x - x_0)f'_x(x_0, y_0) + (y - y_0)f'_y(x_0, y_0) - (z - z_0) = 0
Примеры:
- Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
z = x^2 + y^2в точке(1, 2, 5).
Решение:
Найдем частные производные функции z = x^2 + y^2:
f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y
Подставим значения x = 1 и y = 2:
f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4
Найдем вектор нормали к поверхности z = x^2 + y^2 в точке (1, 2, 5):
\mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right)
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности z = x^2 + y^2 в точке (1, 2, 5):
(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0
Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
2x + 4y - z = 3
Ответ: 2x + 4y - z = 3.
- Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
z = \sin(x + y)в точке(\pi/4, \pi/4, 1).
Решение:
Найдем частные производные функции z = \sin(x + y):
f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y)
Подставим значения x = \pi/4 и y = \pi/4:
f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0
Заметим, что частные производные функции z = \sin(x + y) в точке (\pi/4, \pi/4, 1) равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности z = \sin(x + y) в точке (\pi/4, \pi/4, 1) горизонтальна.
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности z = \sin(x + y) в точке (\pi/4, \pi/4, 1):
z = 1
Ответ: z = 1.