University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/39.md

Поверхностные интегралы первого рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

Определение поверхностного интеграла первого рода

Поверхностный интеграл первого рода функции f(x, y, z) по поверхности S, параметризованной как (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) для (u, v) \in D, определяется как:

\iint_{S}f(x,y,z)\,dS=\iint_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv,

где E, G и F — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:

E=\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2, G=\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2, F=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}.

Теорема существования поверхностного интеграла первого рода

Теорема существования поверхностного интеграла первого рода утверждает, что если функция f(x, y, z) непрерывна на поверхности S, то поверхностный интеграл \iint_{S}f(x,y,z)\,dS существует.

Свойства поверхностных интегралов первого рода

1. Линейность:

   • Если f(x, y, z) и g(x, y, z) интегрируемы на поверхности S, то для любых констант a и b:
   \iint_{S}(af(x,y,z)+bg(x,y,z))\,dS=a\iint_{S}f(x,y,z)\,dS+b\iint_{S}g(x,y,z)\,dS.

2. Аддитивность:

   • Если поверхность S состоит из двух частей S_1 и S_2, то:
   \iint_{S}f(x,y,z)\,dS=\iint_{S_1}f(x,y,z)\,dS+\iint_{S_2}f(x,y,z)\,dS.

3. Монотонность:

   • Если f(x, y, z) \geq g(x, y, z) для всех (x, y, z) на поверхности S, то:
   \iint_{S}f(x,y,z)\,dS\geq\iint_{S}g(x,y,z)\,dS.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Рассмотрим пример вычисления поверхностного интеграла первого рода функции f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 по поверхности S, заданной уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi.

Сначала параметризуем поверхность:

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=r^2.

Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы:

E=\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2=(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2+(2r)^2=1+4r^2, G=\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial\theta}\right)^2=(-r\sin\theta)^2+(r\cos\theta)^2+0=r^2, F=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial z}{\partial\theta}=0.

Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла:

\iint_{S}(x^2+y^2+z^2)\,dS=\iint_{D}(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta+r^4)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.

Упростим интеграл:

\iint_{D}(r^2+r^4)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(r^2+r^4)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.

Теперь вычислим внутренний интеграл:

\int_{0}^{R}(r^2+r^4)\sqrt{1+4r^2}r\,dr.

Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.