Kirill
5.6 KiB
Геометрические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел, вычисление площади поверхности.
Вычисление площади плоской фигуры
Площадь плоской фигуры D на плоскости xy можно вычислить с помощью двойного интеграла. Если функция f(x, y) = 1, то площадь фигуры D определяется как:
A=\iint_{D}dA=\iint_{D}dx\,dy.
Пример
Рассмотрим пример вычисления площади круга радиуса R, центрированного в начале координат. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда площадь круга можно вычислить как:
A=\iint_{D}dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{R}r\,dr=\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{R}=\frac{R^2}{2}.
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{R^2}{2}\,d\theta=\frac{R^2}{2}\cdot2\pi=\pi R^2.
Таким образом, площадь круга равна \pi R^2.
Вычисление объемов тел
Объем тела V, ограниченного поверхностью z = f(x, y) и проекцией этой поверхности на плоскость xy, можно вычислить с помощью тройного интеграла. Если D — область на плоскости xy, то объем тела определяется как:
V=\iiint_{V}dV=\iint_{D}f(x,y)\,dA.
Пример
Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью z = x^2 + y^2 и проекцией этой поверхности на плоскость xy в пределах круга радиуса R, центрированного в начале координат. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда объем тела можно вычислить как:
V=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^2r\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{R}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{R}=\frac{R^4}{4}.
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{R^4}{4}\,d\theta=\frac{R^4}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi R^4}{2}.
Таким образом, объем тела равен \frac{\pi R^4}{2}.
Вычисление площади поверхности
Площадь поверхности S, заданной уравнением z = f(x, y) над областью D на плоскости xy, можно вычислить с помощью двойного интеграла. Площадь элементарной области поверхности выражается через коэффициенты частных производных функции f(x, y):
dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dA.
Таким образом, площадь поверхности определяется как:
S=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dA.
Пример
Рассмотрим пример вычисления площади поверхности, заданной уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда площадь поверхности можно вычислить как:
S=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial y}\right)^2}\,dA.
Вычислим частные производные:
\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial x}=2x,
\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial y}=2y.
Теперь подставим их в формулу для площади поверхности:
S=\iint_{D}\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr.
Для вычисления этого интеграла используем замену переменных u = 1 + 4r^2, тогда du = 8r\,dr и r = 0 соответствует u = 1, а r = R соответствует u = 1 + 4R^2. Тогда интеграл принимает вид:
\int_{1}^{1+4R^2}\frac{1}{8}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{8}\left[\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_{1}^{1+4R^2}=\frac{1}{12}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right).
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{12}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right)\,d\theta=\frac{1}{12}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right)\cdot2\pi=\frac{\pi}{6}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right).
Таким образом, площадь поверхности равна \frac{\pi}{6}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right).