Sweetbread/University-notes
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

[style] Change headers style

Browse Source
This commit is contained in:
Sweetbread
2024-06-19 09:42:52 +03:00
parent dadc3c52cf
commit d638d6e085
10 changed files with 161 additions and 159 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md
+7 -5
View File
@@ -1,6 +1,6 @@
Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ. Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ.
1. Булева алгебра и её основные свойства # Булева алгебра и её основные свойства
Система $<A, \{\&, |, \bar{}, 0, 1 \}>$ Система $<A, \{\&, |, \bar{}, 0, 1 \}>$
Множество **А** Множество **А**
2 элемента: **0, 1** 2 элемента: **0, 1**
@@ -18,7 +18,7 @@
$x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$ $x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$
4. Идемпотентность 4. Идемпотентность
$x \wedge x = x$, $x \vee x = x$ $x \wedge x = x$, $x \vee x = x$
2. Основные функции ## Основные функции
1. Законы де Моргана 1. Законы де Моргана
$\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$ $\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$
$\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$ $\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$
@@ -37,7 +37,9 @@
6. Закон Блейка-Порецкого 6. Закон Блейка-Порецкого
$x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$ $x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$
$x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$ $x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$
3. **Булева формула** - формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1 # **Булева формула**
4. Нормальные формы (ДНФ и КНФ) \- формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1
# Нормальные формы (ДНФ и КНФ)
- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты - **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты
- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 * D_2 * \dots * D_m$,, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции - **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m$, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции
1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md
+7 -8
View File
@@ -1,9 +1,9 @@
Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ. Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ.
1. Совершенные ДНФ и КНФ # Совершенные ДНФ и КНФ
- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ) - **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ)
- **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ) - **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ)
2. Разложение функции по переменной # Разложение функции по переменной
$$ $$
\begin{equation*} \begin{equation*}
x^\alpha = x^\alpha =
@@ -13,11 +13,10 @@
\end{cases} \end{cases}
\end{equation*} \end{equation*}
$$ $$
**Теорема (о разложении функции по переменной)**: Для любой логической функции $𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛)$ справедливо тождество $$ ###### Теорема
f(x_1, x_2, \dots, x_n) Для любой логической функции $𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛)$ справедливо тождество
= x^0_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x^1_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) $f(x_1, x_2, \dots, x_n) =$
= \overline{x_k} * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) $= x^0_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x^1_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) =$
$$ $= \overline{x_k} * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n)$
... ...
3. Единственность СДНФ и СКНФ
1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md
+9 -7
View File
@@ -1,12 +1,14 @@
Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ. Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ.
1. **Импликанта** - элементарная конъюнкция К, которая имплицирует функцию, т.е. $K \rightarrow f = 1$ # Импликанта
2. **Теорема (свойство склейки)**: \- элементарная конъюнкция К, которая имплицирует функцию, т.е. $K \rightarrow f = 1$
Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция,
причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – # Свойство склейки
тоже импликанта этой функции. ###### Теорема:
**Доказательство** Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция, причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – тоже импликанта этой функции.
###### Доказательство
Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$ Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$
Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$ Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$
$(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$ $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$
3. **Сокращённая ДНФ** - дизъюнкция всех простых испликант функции # Сокращённая ДНФ
\- дизъюнкция всех простых испликант функции
1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/5.md
+4 -3
View File
@@ -1,12 +1,13 @@
Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона. Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона.
1. Построение сокращенной ДНФ # Построение сокращенной ДНФ
![[Pasted image 20240607225319.png]] ![[Pasted image 20240607225319.png]]
2. Метод Квайна
# Метод Квайна
1. Всю совокупность номеров наборов нужно разбить на группы в зависимости от числа единиц, имеющихся в наборах. 1. Всю совокупность номеров наборов нужно разбить на группы в зависимости от числа единиц, имеющихся в наборах.
2. Элементы двух соседних групп (число единиц должно отличаться на 1) необходимо попарно сравнить и выявить пары соседних наборов. 2. Элементы двух соседних групп (число единиц должно отличаться на 1) необходимо попарно сравнить и выявить пары соседних наборов.
3. Соседние наборы пометить и записать результат их склейки. 3. Соседние наборы пометить и записать результат их склейки.
4. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки. 4. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки.
5. Все несклееные (не помеченные) наборы дают представление функции в виде сокращенной ДНФ. 5. Все несклееные (не помеченные) наборы дают представление функции в виде сокращенной ДНФ.
3. Метод Нельсона # Метод Нельсона
Построить СКНФ, раскрыть скобки и привести подобные Построить СКНФ, раскрыть скобки и привести подобные
1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md
+13 -6
View File
@@ -1,27 +1,34 @@
Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина. Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.
1. **Алгебра Жегалкина** - алгебраическая система для описания логических функций # **Алгебра Жегалкина**
\- алгебраическая система для описания логических функций
1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2 1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2
2. Нет отрицания 2. Нет отрицания
3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера 3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера
2. Свойства $\oplus$:
# Свойства $\oplus$:
- $x\oplus 0 = x$ - $x\oplus 0 = x$
- $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$ - $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$
- **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$ - **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$
- **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$ - **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$
- **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$ - **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$
- Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$ - Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$
3. Полином Жегалкина
# Полином Жегалкина
1. Нет скобок 1. Нет скобок
2. Нет одинаковых слагаемых 2. Нет одинаковых слагаемых
3. Одним из слагаемых может быть 1 3. Одним из слагаемых может быть 1
4. 0 - полином, но не слагаемое 4. 0 - полином, но не слагаемое
4. **Теорема.** Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.
*Доказательство*: # Единственность полинома Жегалкина
###### Теорема.
Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.
###### Доказательство:
f - логическая функция f - логическая функция
P(f) - её полином P(f) - её полином
- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|СДНФ]]) - f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Совершенные ДНФ и КНФ|СДНФ]])
- В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$) - В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$)
- Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон - Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон
- Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$) - Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$)
1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md
+2 -2
View File
@@ -3,7 +3,7 @@
# Схемы из функциональных элементов # Схемы из функциональных элементов
**СФЭ** (Схема из функциональных элементов) - ациклический орграф, содержащий вершины двух типов: **СФЭ** (Схема из функциональных элементов) - ациклический орграф, содержащий вершины двух типов:
1. **Входные** (источники) - к вершине приписан уникальный символ переменной 1. **Входные** (источники) - к вершине приписан уникальный символ переменной
2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1 2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7#Ациклический орграф|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1
Для гейтов используется ограниченный набор функций: Для гейтов используется ограниченный набор функций:
- **Стандартный** - $\wedge, \vee, \bar{}$ - **Стандартный** - $\wedge, \vee, \bar{}$
- **Базис Жегалкина** - $\oplus, \wedge, 1$ - **Базис Жегалкина** - $\oplus, \wedge, 1$
@@ -19,4 +19,4 @@
# Способы построения схем в стандартном базисе # Способы построения схем в стандартном базисе
1. Использование нормальных форм 1. Использование нормальных форм
2. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|Разложение по переменной]] 2. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной|Разложение по переменной]]
1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md
+5 -6
View File
@@ -1,23 +1,22 @@
Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения. Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.
# Суперпозиция функций # Суперпозиция функций
**Суперпозиция** функции из множества A - - **Суперпозиция** функции из множества A -
1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A 1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A
2. функция, которая может быть получена из A операциями _переименования переменных_ и _подстановки_ 2. функция, которая может быть получена из A операциями _переименования переменных_ и _подстановки_
- **Полная система** функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции
**Полная система** функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции
## Операции над функциями ## Операции над функциями
1. **Переименование переменных** - переменным даются новые имена 1. **Переименование переменных** - переменным даются новые имена
$f(x_1, x_2, \dots, x_n) \rightarrow f(y_1, y_2, \dots, y_n)$ $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \rightarrow f(y_1, y_2, \dots, y_n)$
**Отождествление переменных** - разные переменные получают одно имя ($x_1 = x_2 = z$) **Отождествление переменных** - разные переменные получают одно имя ($x_1 = x_2 = z$)
1. **Подстановка** - вместо переменной подставляется функция 2. **Подстановка** - вместо переменной подставляется функция
$f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$ $f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
# Замыкание системы функций # Замыкание системы функций
**Замыкание** множества А (\[A\]) - - **Замыкание** множества А (\[A\]) -
1. множество всех суперпозиций функция из A 1. множество всех суперпозиций функция из A
2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А 2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А
**Замкнутый** класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = \[A\]) - **Замкнутый** класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = \[A\])
# Свойства замыкания # Свойства замыкания
- $A \subseteq [A]$ - $A \subseteq [A]$
1 курс/2 семестр/Дискретка/Вопросы.md
+23 -31
View File
@@ -9,34 +9,26 @@
7. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7|Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.]] 7. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7|Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.]]
8. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8|Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе.]] 8. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8|Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе.]]
9. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9|Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.]] 9. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9|Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.]]
10. [ ] Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов $𝑇_0$, $𝑇_1$. 10. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10|Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов 𝑇0, 𝑇1.]]
11. [ ] Двойственная функция. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. 11. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11|Двойственная функция. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. Замкнутость класса 𝑆. Лемма о несамодвойственной функции.]]
Замкнутость класса 𝑆. Лемма о несамодвойственной функции. 12. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12|Покомпонентный порядок. Монотонные функции. Замкнутость класса 𝑀. Лемма о немонотонной функции.]]
12. [ ] Покомпонентный порядок. Монотонные функции. Замкнутость класса 𝑀. Лемма о 13. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/13|Теорема о сокращённой ДНФ монотонной функции.]]
немонотонной функции. 14. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14|Линейные функции. Замкнутость класса 𝐿. Сокращённая ДНФ линейной функции. Лемма о нелинейной функции.]]
13. [ ] Теорема о сокращённой ДНФ монотонной функции. 15. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15|Критерий Поста. Шефферовы функции.]]
14. [ ] Линейные функции. Замкнутость класса 𝐿. Сокращённая ДНФ линейной функции. 16. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/16|Предполные классы. Теорема о 5 предполных классах.]]
Лемма о нелинейной функции. 17. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/17|Базис. Теорема о размере базиса. * Базис замкнутого класса. Примеры базисов.]]
15. [ ] Критерий Поста. Шефферовы функции. 18. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/18|Алфавитное кодирование. Префиксный код и его взаимная однозначность.]]
16. [ ] Предполные классы. Теорема о 5 предполных классах. 19. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/19|Неравенство Крафта-Макмиллана.]]
17. [ ] Базис. Теорема о размере базиса. * Базис замкнутого класса. Примеры базисов. 20. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/20|Теорема Крафта о существовании префиксного кода.]]
18. [ ] Алфавитное кодирование. Префиксный код и его взаимная однозначность. 21. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/21|Стоимость алфавитного кодирования. Оптимальный двоичный код. Две леммы о существовании оптимального префиксного кода.]]
19. [ ] Неравенство Крафта-Макмиллана. 22. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/22|Теорема Редукции. Алгоритм Хаффмана.]]
20. [ ] Теорема Крафта о существовании префиксного кода. 23. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/23|Экономное кодирование. Алгоритм Фано.]]
21. [ ] Стоимость алфавитного кодирования. Оптимальный двоичный код. Две леммы о 24. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/24|Недвоичный оптимальный код.]]
существовании оптимального префиксного кода. 25. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/25|Энтропия распределения вероятностей. Нижняя граница стоимости оптимального кода.]]
22. [ ] Теорема Редукции. Алгоритм Хаффмана. 26. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/26|Энтропия распределения вероятностей. Верхняя граница стоимости оптимального кода.]]
23. [ ] Экономное кодирование. Алгоритм Фано. 27. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/27|Оптимальный блочный код. Стоимость кодирования на одну букву и её ограничения.]]
24. [ ] Недвоичный оптимальный код. 28. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/28|Обнаружение и исправление ошибок кодирования. Расстояние Хэмминга. Кодовое расстояние и его связь с обнаружением и исправлением ошибок.]]
25. [ ] Энтропия распределения вероятностей. Нижняя граница стоимости оптимального 29. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/29|Помехоустойчивое кодирование. Код Хэмминга, исправляющий 1 ошибку.]]
кода. 30. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/30|Конечный автомат с выходом (автомат Мили). Канонические уравнения. Диаграмма Мура. Автомат единичной задержки.]]
26. [ ] Энтропия распределения вероятностей. Верхняя граница стоимости оптимального 31. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/31|Схемы с единичной задержкой.]]
кода. 32. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/32|Схема сумматора в стандартном базисе. Последовательный сумматор.]]
27. [ ] Оптимальный блочный код. Стоимость кодирования на одну букву и её ограничения.
28. [ ] Обнаружение и исправление ошибок кодирования. Расстояние Хэмминга. Кодовое
расстояние и его связь с обнаружением и исправлением ошибок.
29. [ ] Помехоустойчивое кодирование. Код Хэмминга, исправляющий 1 ошибку.
30. [ ] Конечный автомат с выходом (автомат Мили). Канонические уравнения. Диаграмма
Мура. Автомат единичной задержки.
31. [ ] Схемы с единичной задержкой.
32. [ ] Схема сумматора в стандартном базисе. Последовательный сумматор.