From d638d6e08525aa0b402742bc4021b5df21284bc9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Sweetbread Date: Wed, 19 Jun 2024 09:42:52 +0300 Subject: [PATCH] [style] Change headers style --- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/1.md | 6 +-- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md | 74 +++++++++++++------------- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md | 41 +++++++------- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md | 24 +++++---- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/5.md | 23 ++++---- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md | 69 +++++++++++++----------- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md | 2 +- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md | 6 +-- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md | 21 ++++---- 1 курс/2 семестр/Дискретка/Вопросы.md | 54 ++++++++----------- 10 files changed, 161 insertions(+), 159 deletions(-) diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/1.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/1.md index dfd920f..912e4eb 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/1.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/1.md @@ -1,6 +1,6 @@ -Логическая функция и способы её задания. Число логических функций. -Существенные и фиктивные переменные. Основные операции алгебры логики. -Логические формулы. Эквивалентность функций. Эквивалентность формул. + Логическая функция и способы её задания. Число логических функций. + Существенные и фиктивные переменные. Основные операции алгебры логики. + Логические формулы. Эквивалентность функций. Эквивалентность формул. # Логическая функция и способы её задания. - **Логическая функция** (булева) - функция, у которой каждая переменная принимает значения {0, 1} и сама функция возвращает значение из такого множества $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md index e89c1ff..23a29f2 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md @@ -1,43 +1,45 @@ -Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ. + Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ. -1. Булева алгебра и её основные свойства +# Булева алгебра и её основные свойства Система $$ Множество **А** 2 элемента: **0, 1** 2 бинарных операций: &, | Унарная операция: $\bar{}$ со следующими свойствами: - 1. Ассоциативность - $x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$ - $x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$ - 2. Коммутативность - $x \wedge y = y \wedge x$ - $x \vee y = y \vee x$ - 3. Дистрибутивность - $x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$ - $x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$ - 4. Идемпотентность - $x \wedge x = x$, $x \vee x = x$ -2. Основные функции - 1. Законы де Моргана - $\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$ - $\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$ - 2. Закон двойного отрицания - $\bar{\bar x} = x$ - 3. Закон противоречия (исключённого третьего) - $x \wedge \bar x = 0$ - $x \vee \bar x = 1$ - 4. Свойства констант - $x \wedge 0 = 0$, $x \vee 1 = 1$ - $x \wedge 1 = x$, $x \vee 0 = x$ - $\bar1 = 0$, $\bar0 = 1$ - 5. Законы поглощения - $x \wedge (x \vee y) = x$ - $x \vee (x \wedge y) = x$ - 6. Закон Блейка-Порецкого - $x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$ - $x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$ -3. **Булева формула** - формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1 -4. Нормальные формы (ДНФ и КНФ) - - **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты - - **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 * D_2 * \dots * D_m$,, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции \ No newline at end of file +1. Ассоциативность + $x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$ + $x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$ +2. Коммутативность + $x \wedge y = y \wedge x$ + $x \vee y = y \vee x$ +3. Дистрибутивность + $x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$ + $x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$ +4. Идемпотентность + $x \wedge x = x$, $x \vee x = x$ +## Основные функции +1. Законы де Моргана + $\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$ + $\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$ +2. Закон двойного отрицания + $\bar{\bar x} = x$ +3. Закон противоречия (исключённого третьего) + $x \wedge \bar x = 0$ + $x \vee \bar x = 1$ +4. Свойства констант + $x \wedge 0 = 0$, $x \vee 1 = 1$ + $x \wedge 1 = x$, $x \vee 0 = x$ + $\bar1 = 0$, $\bar0 = 1$ +5. Законы поглощения + $x \wedge (x \vee y) = x$ + $x \vee (x \wedge y) = x$ +6. Закон Блейка-Порецкого + $x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$ + $x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$ +# **Булева формула** +\- формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1 + +# Нормальные формы (ДНФ и КНФ) +- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты +- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m$, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md index 5cbb722..a816b3d 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md @@ -1,23 +1,22 @@ -Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ. + Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ. -1. Совершенные ДНФ и КНФ - - **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ) - - **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ) -2. Разложение функции по переменной - $$ - \begin{equation*} - x^\alpha = - \begin{cases} - \bar x &\text{если $\alpha = 0$}\\ - x &\text{если $\alpha = 1$} - \end{cases} - \end{equation*} - $$ - **Теорема (о разложении функции по переменной)**: Для любой логической функции $𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛)$ справедливо тождество $$ - f(x_1, x_2, \dots, x_n) - = x^0_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x^1_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) - = \overline{x_k} * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) - $$ - ... -3. Единственность СДНФ и СКНФ +# Совершенные ДНФ и КНФ +- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ) +- **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ) +# Разложение функции по переменной + $$ + \begin{equation*} + x^\alpha = + \begin{cases} + \bar x &\text{если $\alpha = 0$}\\ + x &\text{если $\alpha = 1$} + \end{cases} + \end{equation*} +$$ +###### Теорема + Для любой логической функции $𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛)$ справедливо тождество +$f(x_1, x_2, \dots, x_n) =$ + $= x^0_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x^1_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) =$ + $= \overline{x_k} * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n)$ +... \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md index ac481d0..5b4e2d5 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md @@ -1,12 +1,14 @@ -Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ. + Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ. -1. **Импликанта** - элементарная конъюнкция К, которая имплицирует функцию, т.е. $K \rightarrow f = 1$ -2. **Теорема (свойство склейки)**: - Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция, - причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – - тоже импликанта этой функции. - **Доказательство** - Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$ - Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$ - $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$ -3. **Сокращённая ДНФ** - дизъюнкция всех простых испликант функции \ No newline at end of file +# Импликанта +\- элементарная конъюнкция К, которая имплицирует функцию, т.е. $K \rightarrow f = 1$ + +# Свойство склейки +###### Теорема: +Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция, причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – тоже импликанта этой функции. +###### Доказательство +Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$ +Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$ +$(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$ +# Сокращённая ДНФ +\- дизъюнкция всех простых испликант функции \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/5.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/5.md index 073121c..dd57fa8 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/5.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/5.md @@ -1,12 +1,13 @@ -Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона. + Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона. -1. Построение сокращенной ДНФ - ![[Pasted image 20240607225319.png]] -2. Метод Квайна - 1. Всю совокупность номеров наборов нужно разбить на группы в зависимости от числа единиц, имеющихся в наборах. - 2. Элементы двух соседних групп (число единиц должно отличаться на 1) необходимо попарно сравнить и выявить пары соседних наборов. - 3. Соседние наборы пометить и записать результат их склейки. - 4. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки. - 5. Все несклееные (не помеченные) наборы дают представление функции в виде сокращенной ДНФ. -3. Метод Нельсона - Построить СКНФ, раскрыть скобки и привести подобные \ No newline at end of file +# Построение сокращенной ДНФ + ![[Pasted image 20240607225319.png]] + +# Метод Квайна +1. Всю совокупность номеров наборов нужно разбить на группы в зависимости от числа единиц, имеющихся в наборах. +2. Элементы двух соседних групп (число единиц должно отличаться на 1) необходимо попарно сравнить и выявить пары соседних наборов. +3. Соседние наборы пометить и записать результат их склейки. +4. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки. +5. Все несклееные (не помеченные) наборы дают представление функции в виде сокращенной ДНФ. +# Метод Нельсона + Построить СКНФ, раскрыть скобки и привести подобные \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md index f259725..f6a3224 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md @@ -1,33 +1,40 @@ -Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина. + Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина. -1. **Алгебра Жегалкина** - алгебраическая система для описания логических функций - 1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2 - 2. Нет отрицания - 3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера -2. Свойства $\oplus$: - - $x\oplus 0 = x$ - - $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$ - - **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$ - - **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$ - - **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$ - - Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$ -3. Полином Жегалкина - 1. Нет скобок - 2. Нет одинаковых слагаемых - 3. Одним из слагаемых может быть 1 - 4. 0 - полином, но не слагаемое -4. **Теорема.** Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином. - *Доказательство*: - f - логическая функция - P(f) - её полином - - - f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|СДНФ]]) - - В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$) - - Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон - - Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$) - - Одинаковые слагаемые отпадают ($x \oplus x = 0$) - - Каждое слагаемое в полиноме имеет вид $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}$ или 1. Каждая конъюнкция определяется подмножеством $\{i_1, i_2, \dots, i_k\}$ или $\varnothing$ множества $\{1, 2, \dots, n\}$. Следовательно, множество всех слагаемых содержит $2^n$ элементов - - Для составления полинома требуется выбрать одно из $2^{2^n}$ подмножеств множества всех возможных слагаемых - полинома от переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Столько же и функций от таких переменных, так что для каждой функции f существует представляющий её полином, и число функций = число полиномов, поэтому P - биекция. А значит, одного полинома хватает только для одной функции +# **Алгебра Жегалкина** +\- алгебраическая система для описания логических функций + 1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2 + 2. Нет отрицания + 3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера + +# Свойства $\oplus$: +- $x\oplus 0 = x$ +- $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$ +- **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$ +- **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$ +- **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$ +- Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$ + +# Полином Жегалкина + 1. Нет скобок + 2. Нет одинаковых слагаемых + 3. Одним из слагаемых может быть 1 + 4. 0 - полином, но не слагаемое + +# Единственность полинома Жегалкина +###### Теорема. +Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином. + +###### Доказательство: +f - логическая функция +P(f) - её полином + +- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Совершенные ДНФ и КНФ|СДНФ]]) +- В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$) +- Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон +- Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$) +- Одинаковые слагаемые отпадают ($x \oplus x = 0$) + +Каждое слагаемое в полиноме имеет вид $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}$ или 1. Каждая конъюнкция определяется подмножеством $\{i_1, i_2, \dots, i_k\}$ или $\varnothing$ множества $\{1, 2, \dots, n\}$. Следовательно, множество всех слагаемых содержит $2^n$ элементов + +Для составления полинома требуется выбрать одно из $2^{2^n}$ подмножеств множества всех возможных слагаемых - полинома от переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Столько же и функций от таких переменных, так что для каждой функции f существует представляющий её полином, и число функций = число полиномов, поэтому P - биекция. А значит, одного полинома хватает только для одной функции \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md index 78baf45..416f297 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md @@ -1,4 +1,4 @@ -Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации. + Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации. # Ациклический орграф **Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов **Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md index 933dbad..193806a 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md @@ -1,9 +1,9 @@ -Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе. + Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе. # Схемы из функциональных элементов **СФЭ** (Схема из функциональных элементов) - ациклический орграф, содержащий вершины двух типов: 1. **Входные** (источники) - к вершине приписан уникальный символ переменной -2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1 +2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7#Ациклический орграф|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1 Для гейтов используется ограниченный набор функций: - **Стандартный** - $\wedge, \vee, \bar{}$ - **Базис Жегалкина** - $\oplus, \wedge, 1$ @@ -19,4 +19,4 @@ # Способы построения схем в стандартном базисе 1. Использование нормальных форм -2. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|Разложение по переменной]] +2. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной|Разложение по переменной]] diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md index a38616a..1d78314 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md @@ -1,23 +1,22 @@ -Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения. + Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения. # Суперпозиция функций -**Суперпозиция** функции из множества A - -1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A -2. функция, которая может быть получена из A операциями _переименования переменных_ и _подстановки_ - -**Полная система** функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции +- **Суперпозиция** функции из множества A - + 1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A + 2. функция, которая может быть получена из A операциями _переименования переменных_ и _подстановки_ +- **Полная система** функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции ## Операции над функциями 1. **Переименование переменных** - переменным даются новые имена $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \rightarrow f(y_1, y_2, \dots, y_n)$ **Отождествление переменных** - разные переменные получают одно имя ($x_1 = x_2 = z$) -1. **Подстановка** - вместо переменной подставляется функция +2. **Подстановка** - вместо переменной подставляется функция $f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$ # Замыкание системы функций -**Замыкание** множества А (\[A\]) - -1. множество всех суперпозиций функция из A -2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А -**Замкнутый** класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = \[A\]) +- **Замыкание** множества А (\[A\]) - + 1. множество всех суперпозиций функция из A + 2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А +- **Замкнутый** класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = \[A\]) # Свойства замыкания - $A \subseteq [A]$ diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Вопросы.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Вопросы.md index 22417f2..3e59d7b 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Вопросы.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Вопросы.md @@ -9,34 +9,26 @@ 7. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7|Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.]] 8. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8|Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе.]] 9. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9|Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.]] -10. [ ] Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов $𝑇_0$, $𝑇_1$. -11. [ ] Двойственная функция. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. -Замкнутость класса 𝑆. Лемма о несамодвойственной функции. -12. [ ] Покомпонентный порядок. Монотонные функции. Замкнутость класса 𝑀. Лемма о -немонотонной функции. -13. [ ] Теорема о сокращённой ДНФ монотонной функции. -14. [ ] Линейные функции. Замкнутость класса 𝐿. Сокращённая ДНФ линейной функции. -Лемма о нелинейной функции. -15. [ ] Критерий Поста. Шефферовы функции. -16. [ ] Предполные классы. Теорема о 5 предполных классах. -17. [ ] Базис. Теорема о размере базиса. * Базис замкнутого класса. Примеры базисов. -18. [ ] Алфавитное кодирование. Префиксный код и его взаимная однозначность. -19. [ ] Неравенство Крафта-Макмиллана. -20. [ ] Теорема Крафта о существовании префиксного кода. -21. [ ] Стоимость алфавитного кодирования. Оптимальный двоичный код. Две леммы о -существовании оптимального префиксного кода. -22. [ ] Теорема Редукции. Алгоритм Хаффмана. -23. [ ] Экономное кодирование. Алгоритм Фано. -24. [ ] Недвоичный оптимальный код. -25. [ ] Энтропия распределения вероятностей. Нижняя граница стоимости оптимального -кода. -26. [ ] Энтропия распределения вероятностей. Верхняя граница стоимости оптимального -кода. -27. [ ] Оптимальный блочный код. Стоимость кодирования на одну букву и её ограничения. -28. [ ] Обнаружение и исправление ошибок кодирования. Расстояние Хэмминга. Кодовое -расстояние и его связь с обнаружением и исправлением ошибок. -29. [ ] Помехоустойчивое кодирование. Код Хэмминга, исправляющий 1 ошибку. -30. [ ] Конечный автомат с выходом (автомат Мили). Канонические уравнения. Диаграмма -Мура. Автомат единичной задержки. -31. [ ] Схемы с единичной задержкой. -32. [ ] Схема сумматора в стандартном базисе. Последовательный сумматор. \ No newline at end of file +10. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10|Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов 𝑇0, 𝑇1.]] +11. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11|Двойственная функция. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. Замкнутость класса 𝑆. Лемма о несамодвойственной функции.]] +12. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12|Покомпонентный порядок. Монотонные функции. Замкнутость класса 𝑀. Лемма о немонотонной функции.]] +13. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/13|Теорема о сокращённой ДНФ монотонной функции.]] +14. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14|Линейные функции. Замкнутость класса 𝐿. Сокращённая ДНФ линейной функции. Лемма о нелинейной функции.]] +15. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15|Критерий Поста. Шефферовы функции.]] +16. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/16|Предполные классы. Теорема о 5 предполных классах.]] +17. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/17|Базис. Теорема о размере базиса. * Базис замкнутого класса. Примеры базисов.]] +18. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/18|Алфавитное кодирование. Префиксный код и его взаимная однозначность.]] +19. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/19|Неравенство Крафта-Макмиллана.]] +20. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/20|Теорема Крафта о существовании префиксного кода.]] +21. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/21|Стоимость алфавитного кодирования. Оптимальный двоичный код. Две леммы о существовании оптимального префиксного кода.]] +22. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/22|Теорема Редукции. Алгоритм Хаффмана.]] +23. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/23|Экономное кодирование. Алгоритм Фано.]] +24. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/24|Недвоичный оптимальный код.]] +25. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/25|Энтропия распределения вероятностей. Нижняя граница стоимости оптимального кода.]] +26. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/26|Энтропия распределения вероятностей. Верхняя граница стоимости оптимального кода.]] +27. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/27|Оптимальный блочный код. Стоимость кодирования на одну букву и её ограничения.]] +28. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/28|Обнаружение и исправление ошибок кодирования. Расстояние Хэмминга. Кодовое расстояние и его связь с обнаружением и исправлением ошибок.]] +29. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/29|Помехоустойчивое кодирование. Код Хэмминга, исправляющий 1 ошибку.]] +30. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/30|Конечный автомат с выходом (автомат Мили). Канонические уравнения. Диаграмма Мура. Автомат единичной задержки.]] +31. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/31|Схемы с единичной задержкой.]] +32. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/32|Схема сумматора в стандартном базисе. Последовательный сумматор.]]