Merge branch 'Discrette'

.gitignore

@@ -1,3 +1,4 @@
 .trash
 .obsidian/workspace.json
 .obsidian/workspace-mobile.json
+.obsidian/graph.json

.obsidian/appearance.json

@@ -1 +1,3 @@
-{}
+{
+  "cssTheme": "Catppuccin"
+}

.obsidian/community-plugins.json

@@ -1,3 +1,5 @@
 [
-  "webpage-html-export"
+  "webpage-html-export",
+  "obsidian-git",
+  "obsidian-style-settings"
 ]

.obsidian/graph.json

@@ -1,22 +0,0 @@
-{
-  "collapse-filter": true,
-  "search": "",
-  "showTags": false,
-  "showAttachments": false,
-  "hideUnresolved": false,
-  "showOrphans": true,
-  "collapse-color-groups": true,
-  "colorGroups": [],
-  "collapse-display": true,
-  "showArrow": false,
-  "textFadeMultiplier": 0,
-  "nodeSizeMultiplier": 1,
-  "lineSizeMultiplier": 1,
-  "collapse-forces": true,
-  "centerStrength": 0.518713248970312,
-  "repelStrength": 10,
-  "linkStrength": 1,
-  "linkDistance": 250,
-  "scale": 1,
-  "close": true
-}

.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json

@@ -0,0 +1,58 @@
+{
+  "commitMessage": "vault backup: {{date}}",
+  "commitDateFormat": "YYYY-MM-DD HH:mm:ss",
+  "autoSaveInterval": 0,
+  "autoPushInterval": 0,
+  "autoPullInterval": 0,
+  "autoPullOnBoot": true,
+  "disablePush": false,
+  "pullBeforePush": true,
+  "disablePopups": false,
+  "disablePopupsForNoChanges": false,
+  "listChangedFilesInMessageBody": false,
+  "showStatusBar": true,
+  "updateSubmodules": false,
+  "syncMethod": "merge",
+  "customMessageOnAutoBackup": false,
+  "autoBackupAfterFileChange": false,
+  "treeStructure": false,
+  "refreshSourceControl": true,
+  "basePath": "",
+  "differentIntervalCommitAndPush": false,
+  "changedFilesInStatusBar": false,
+  "showedMobileNotice": true,
+  "refreshSourceControlTimer": 7000,
+  "showBranchStatusBar": true,
+  "setLastSaveToLastCommit": false,
+  "submoduleRecurseCheckout": false,
+  "gitDir": "",
+  "showFileMenu": true,
+  "authorInHistoryView": "hide",
+  "dateInHistoryView": false,
+  "lineAuthor": {
+    "show": false,
+    "followMovement": "inactive",
+    "authorDisplay": "initials",
+    "showCommitHash": false,
+    "dateTimeFormatOptions": "date",
+    "dateTimeFormatCustomString": "YYYY-MM-DD HH:mm",
+    "dateTimeTimezone": "viewer-local",
+    "coloringMaxAge": "1y",
+    "colorNew": {
+      "r": 255,
+      "g": 150,
+      "b": 150
+    },
+    "colorOld": {
+      "r": 120,
+      "g": 160,
+      "b": 255
+    },
+    "textColorCss": "var(--text-muted)",
+    "ignoreWhitespace": false,
+    "gutterSpacingFallbackLength": 5,
+    "lastShownAuthorDisplay": "initials",
+    "lastShownDateTimeFormatOptions": "date"
+  },
+  "autoCommitMessage": "vault backup: {{date}}"
+}

.obsidian/plugins/obsidian-style-settings/data.json

@@ -0,0 +1,4 @@
+{
+  "catppuccin-theme-settings@@catppuccin-theme-dark": "ctp-macchiato",
+  "catppuccin-theme-settings@@catppuccin-theme-accents": "ctp-accent-sapphire"
+}

.obsidian/plugins/obsidian-style-settings/manifest.json

@@ -0,0 +1,10 @@
+{
+	"id": "obsidian-style-settings",
+	"name": "Style Settings",
+	"version": "1.0.8",
+	"minAppVersion": "0.11.5",
+	"description": "Offers controls for adjusting theme, plugin, and snippet CSS variables.",
+	"author": "mgmeyers",
+	"authorUrl": "https://github.com/mgmeyers/obsidian-style-settings",
+	"isDesktopOnly": false
+}

.obsidian/plugins/obsidian-style-settings/styles.css

@@ -0,0 +1,243 @@
+.style-settings-container .pcr-app {
+    display: none;
+}
+
+.style-settings-container .pcr-app.visible {
+    display: flex;
+}
+
+.pcr-app .pcr-swatches > button {
+    padding: 0;
+}
+
+.pickr .pcr-button {
+    margin-right: 0;
+}
+
+.themed-color-wrapper > div {
+    background: var(--background-primary);
+    padding: 10px;
+    display: flex;
+    align-items: center;
+    border-radius: 4px;
+}
+
+.themed-color-wrapper > div + div {
+    margin-top: 6px;
+}
+
+.themed-color-wrapper button {
+    display: block;
+}
+
+.themed-color-wrapper .pickr-reset > button {
+    margin: 0 0 0 10px;
+    padding: 9px;
+    line-height: 1;
+}
+
+.themed-color-wrapper .pickr-reset > button > svg {
+    display: block;
+}
+.style-settings-heading {
+    cursor: pointer;
+    margin-bottom: 18px;
+    padding-bottom: 6px;
+    border-bottom: 1px solid var(--background-modifier-border);
+}
+
+.style-settings-heading[data-level="0"] {
+    margin-bottom: 26px;
+}
+
+.style-settings-container {
+    padding-bottom: 16px;
+}
+
+.style-settings-heading[data-level="0"] + .style-settings-container {
+    padding-left: 34px;
+}
+
+.style-settings-heading.is-collapsed {
+    margin-bottom: 0;
+}
+
+.style-settings-heading.is-collapsed + .style-settings-container {
+    display: none;
+}
+
+.style-settings-collapse-indicator {
+    color: var(--text-faint);
+    display: inline-block;
+    margin-right: 8px;
+    position: relative;
+    top: -1px;
+}
+
+.style-settings-heading[data-level="0"]
++ .style-settings-container
+.style-settings-collapse-indicator {
+    margin-left: -17px;
+}
+
+.style-settings-collapse-indicator > svg {
+    height: 9px;
+    width: 9px;
+}
+
+.style-settings-heading.is-collapsed .style-settings-collapse-indicator > svg {
+    transform: rotate(-90deg);
+}
+
+.style-settings-filter-result-count {
+    color: var(--text-faint);
+    line-height: var(--line-height-tight);
+    margin-inline: var(--size-4-2);
+}
+
+.style-settings-error {
+    font-size: 14px;
+    border-radius: 6px;
+    background: rgba(var(--background-modifier-error-rgb), 0.2);
+    color: var(--text-error);
+    padding: 10px;
+    margin-bottom: 1rem;
+}
+
+.style-settings-error-name {
+    font-weight: bold;
+    margin-bottom: 5px;
+}
+
+.style-settings-error-desc {
+    white-space: pre;
+}
+
+.style-settings-empty {
+    font-size: 14px;
+    background: var(--background-secondary);
+    padding: 10px;
+}
+
+.style-settings-empty-name {
+    font-weight: bold;
+    margin-bottom: 5px;
+}
+
+.style-settings-import-input {
+    width: 0.1px;
+    height: 0.1px;
+    opacity: 0;
+    overflow: hidden;
+    position: absolute;
+    z-index: -1;
+}
+
+.style-settings-import-label {
+    cursor: pointer;
+    color: var(--text-accent);
+    text-decoration: underline;
+}
+
+.style-settings-import-label:hover {
+    color: var(--text-accent-hover);
+}
+
+.style-settings-export,
+.style-settings-import {
+    display: inline-block;
+    margin-right: 10px;
+}
+
+.style-settings-copy,
+.style-settings-download {
+    position: relative;
+    display: inline-block;
+    margin-left: 10px;
+}
+
+.style-settings-copy:before {
+    color: var(--interactive-success);
+    content: "✓";
+    position: absolute;
+    left: -18px;
+    font-weight: bold;
+    opacity: 0;
+    transition: 150ms opacity ease-in-out;
+}
+
+.style-settings-copy.success:before {
+    opacity: 1;
+}
+
+.modal-style-settings {
+    height: 70vh;
+    display: flex;
+    flex-direction: column;
+}
+
+.modal-style-settings .modal-content {
+    flex-grow: 1;
+    margin: 0;
+    display: flex;
+    flex-direction: column;
+}
+
+.modal-style-settings textarea {
+    display: block;
+    width: 100%;
+    height: 100%;
+    font-family: var(--font-monospace) !important;
+    font-size: 12px;
+    white-space: pre;
+    overflow-wrap: normal;
+    overflow-x: scroll;
+    margin-bottom: 5px;
+}
+
+.modal-style-settings .setting-item {
+    align-items: flex-start;
+}
+
+.modal-style-settings button {
+    margin: 10px 0 0;
+}
+
+.style-settings-import-error {
+    display: none;
+    color: var(--text-error);
+}
+
+.style-settings-import-error.active {
+    display: block;
+}
+
+.view-content .style-settings-container .setting-item:not(.setting-item-heading) {
+    flex-direction: column;
+    align-items: flex-start;
+}
+
+.view-content .style-settings-container .setting-item:not(.setting-item-heading) .setting-item-control {
+    padding-top: 0.5em;
+}
+
+.view-content .style-settings-container .setting-item:not(.setting-item-heading) .themed-color-wrapper {
+    display: flex;
+}
+
+.style-settings-ref {
+    position: absolute;
+    width: 0 !important;
+    height: 0 !important;
+    pointer-events: none;
+}
+
+.style-settings-info-text .style-settings-markdown :first-child {
+    margin-top: 0;
+}
+
+.style-settings-info-text .style-settings-markdown :last-child {
+    margin-bottom: 0;
+}/*! Pickr 1.8.4 MIT | https://github.com/Simonwep/pickr */
+.pickr{position:relative;overflow:visible;transform:translateY(0)}.pickr *{box-sizing:border-box;outline:none;border:none;-webkit-appearance:none}.pickr .pcr-button{position:relative;height:2em;width:2em;padding:0.5em;cursor:pointer;font-family:-apple-system,BlinkMacSystemFont,"Segoe UI","Roboto","Helvetica Neue",Arial,sans-serif;border-radius:.15em;background:url('data:image/svg+xml;utf8, <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 50 50" stroke="%2342445A" stroke-width="5px" stroke-linecap="round"><path d="M45,45L5,5"></path><path d="M45,5L5,45"></path></svg>') no-repeat center;background-size:0;transition:all 0.3s}.pickr .pcr-button::before{position:absolute;content:'';top:0;left:0;width:100%;height:100%;background:url('data:image/svg+xml;utf8, <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 2 2"><path fill="white" d="M1,0H2V1H1V0ZM0,1H1V2H0V1Z"/><path fill="gray" d="M0,0H1V1H0V0ZM1,1H2V2H1V1Z"/></svg>');background-size:.5em;border-radius:.15em;z-index:-1}.pickr .pcr-button::before{z-index:initial}.pickr .pcr-button::after{position:absolute;content:'';top:0;left:0;height:100%;width:100%;transition:background 0.3s;background:var(--pcr-color);border-radius:.15em}.pickr .pcr-button.clear{background-size:70%}.pickr .pcr-button.clear::before{opacity:0}.pickr .pcr-button.clear:focus{box-shadow:0 0 0 1px rgba(255,255,255,0.85),0 0 0 3px var(--pcr-color)}.pickr .pcr-button.disabled{cursor:not-allowed}.pickr *,.pcr-app *{box-sizing:border-box;outline:none;border:none;-webkit-appearance:none}.pickr input:focus,.pickr input.pcr-active,.pickr button:focus,.pickr button.pcr-active,.pcr-app input:focus,.pcr-app input.pcr-active,.pcr-app button:focus,.pcr-app button.pcr-active{box-shadow:0 0 0 1px rgba(255,255,255,0.85),0 0 0 3px var(--pcr-color)}.pickr .pcr-palette,.pickr .pcr-slider,.pcr-app .pcr-palette,.pcr-app .pcr-slider{transition:box-shadow 0.3s}.pickr .pcr-palette:focus,.pickr .pcr-slider:focus,.pcr-app .pcr-palette:focus,.pcr-app .pcr-slider:focus{box-shadow:0 0 0 1px rgba(255,255,255,0.85),0 0 0 3px rgba(0,0,0,0.25)}.pcr-app{position:fixed;display:flex;flex-direction:column;z-index:10000;border-radius:0.1em;background:#fff;opacity:0;visibility:hidden;transition:opacity 0.3s, visibility 0s 0.3s;font-family:-apple-system,BlinkMacSystemFont,"Segoe UI","Roboto","Helvetica Neue",Arial,sans-serif;box-shadow:0 0.15em 1.5em 0 rgba(0,0,0,0.1),0 0 1em 0 rgba(0,0,0,0.03);left:0;top:0}.pcr-app.visible{transition:opacity 0.3s;visibility:visible;opacity:1}.pcr-app .pcr-swatches{display:flex;flex-wrap:wrap;margin-top:0.75em}.pcr-app .pcr-swatches.pcr-last{margin:0}@supports (display: grid){.pcr-app .pcr-swatches{display:grid;align-items:center;grid-template-columns:repeat(auto-fit, 1.75em)}}.pcr-app .pcr-swatches>button{font-size:1em;position:relative;width:calc(1.75em - 5px);height:calc(1.75em - 5px);border-radius:0.15em;cursor:pointer;margin:2.5px;flex-shrink:0;justify-self:center;transition:all 0.15s;overflow:hidden;background:transparent;z-index:1}.pcr-app .pcr-swatches>button::before{position:absolute;content:'';top:0;left:0;width:100%;height:100%;background:url('data:image/svg+xml;utf8, <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 2 2"><path fill="white" d="M1,0H2V1H1V0ZM0,1H1V2H0V1Z"/><path fill="gray" d="M0,0H1V1H0V0ZM1,1H2V2H1V1Z"/></svg>');background-size:6px;border-radius:.15em;z-index:-1}.pcr-app .pcr-swatches>button::after{content:'';position:absolute;top:0;left:0;width:100%;height:100%;background:var(--pcr-color);border:1px solid rgba(0,0,0,0.05);border-radius:0.15em;box-sizing:border-box}.pcr-app .pcr-swatches>button:hover{filter:brightness(1.05)}.pcr-app .pcr-swatches>button:not(.pcr-active){box-shadow:none}.pcr-app .pcr-interaction{display:flex;flex-wrap:wrap;align-items:center;margin:0 -0.2em 0 -0.2em}.pcr-app .pcr-interaction>*{margin:0 0.2em}.pcr-app .pcr-interaction input{letter-spacing:0.07em;font-size:0.75em;text-align:center;cursor:pointer;color:#75797e;background:#f1f3f4;border-radius:.15em;transition:all 0.15s;padding:0.45em 0.5em;margin-top:0.75em}.pcr-app .pcr-interaction input:hover{filter:brightness(0.975)}.pcr-app .pcr-interaction input:focus{box-shadow:0 0 0 1px rgba(255,255,255,0.85),0 0 0 3px rgba(66,133,244,0.75)}.pcr-app .pcr-interaction .pcr-result{color:#75797e;text-align:left;flex:1 1 8em;min-width:8em;transition:all 0.2s;border-radius:.15em;background:#f1f3f4;cursor:text}.pcr-app .pcr-interaction .pcr-result::-moz-selection{background:#4285f4;color:#fff}.pcr-app .pcr-interaction .pcr-result::selection{background:#4285f4;color:#fff}.pcr-app .pcr-interaction .pcr-type.active{color:#fff;background:#4285f4}.pcr-app .pcr-interaction .pcr-save,.pcr-app .pcr-interaction .pcr-cancel,.pcr-app .pcr-interaction .pcr-clear{color:#fff;width:auto}.pcr-app .pcr-interaction .pcr-save,.pcr-app .pcr-interaction .pcr-cancel,.pcr-app .pcr-interaction .pcr-clear{color:#fff}.pcr-app .pcr-interaction .pcr-save:hover,.pcr-app .pcr-interaction .pcr-cancel:hover,.pcr-app .pcr-interactioLine truncated
+

.obsidian/themes/Catppuccin/manifest.json

@@ -0,0 +1,7 @@
+{
+  "name": "Catppuccin",
+  "version": "0.4.22",
+  "minAppVersion": "1.0.0",
+  "author": "Marshall Beckrich",
+  "authorUrl": "https://github.com/catppuccin/obsidian"
+}

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/10.md

@@ -0,0 +1,27 @@
+> Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов $𝑇_0$, $𝑇_1$
+
+# Функции, сохраняющие константы
+## Функции, сохраняющие 0
+Функция сохраняет константу 0, если $f(0, 0, \dots, 0) = 0$ и обозначается $T_0$
+
+###### Теорема. Класс $T_0$ замкнут
+Достаточно доказать, что при применении операций переименования переменных и подстановки к функциям из класса получается функция из этого же класса.
+
+Для переименования это очевидно.
+
+Рассмотрим операцию подстановки. Пусть
+$𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛) \in 𝑇_0$ и $𝑔(𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑚) \in 𝑇_0$. Рассмотрим функцию ℎ, полученную в результате подстановки 𝑔 в 𝑓 вместо $𝑥_𝑘$: $ℎ = 𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_{𝑘−1}, 𝑔(𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑚), 𝑥_{𝑘+1}, \dots, 𝑥_𝑛)$
+
+Доказательство одинаковое при любом 𝑘, поэтому, не
+теряя общности, положим $𝑘 = 𝑛$: $h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$
+
+Отметим, что некоторые из $𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑛$ могут совпадать с некоторыми из $𝑥_1, 𝑥_2, \dots 𝑥_{𝑛−1}$, то есть фактически ℎ может зависеть от меньшего числа переменных.
+
+Подставляя нулевые значения, получаем $ℎ(0, 0, \dots, 0) = 𝑓(0, \dots, 0, 𝑔 (0, 0, \dots, 0)) = 𝑓(0,0, \dots, 0) = 0 \Rightarrow ℎ \in 𝑇_0$.
+
+Если функция сохраняет 0, то определяется своими значениями на всех наборах значений переменных, кроме набора $(0, 0, \dots, 0)$, т.е. $2^n - 1$. Следовательно, число функций, сохраняющих 0 - $2^{2^n - 1}$
+
+Функция сохраняет константу 1, если $f(1, 1, \dots, 1) = 1$ и обозначается $T_1$
+
+###### Теорема. Класс $T_1$ замкнут
+Доказательство аналогичное

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md

@@ -0,0 +1,51 @@
+	Двойственная функция. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. Замкнутость класса 𝑆. Лемма о несамодвойственной функции
+
+# Двойственная функция
+**Двойственная функция** $f^*$ - $f^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = \overline{f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n})}$
+$(f^*)^* = f$
+
+Примеры:
+- $0^* = 1$
+- $x^* = x$
+- $\bar x^* = \bar x$
+- $(xy)^* = x \vee y$
+- $(x \oplus y)^* = x \equiv y$
+- $(x|y)^* = x \downarrow y$
+- $(x \rightarrow y)^* = y > x$
+
+# Принцип двойственности
+## Теорема
+Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) и g(y_1, y_2, \dots, y_m)$ - логические функции и $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
+Тогда $h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
+## Доказательство
+НУО $k = n$: $h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$
+
+По определению двойственности, $h^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = \overline{h(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, \overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m})} = \overline{f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}))}$
+$g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}) = \overline{g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)}$, поэтому $h^* = \overline{f\left(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, \overline{g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)}\right)} = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m))$
+
+## Следствие
+> Пусть функция 𝑓 представлена некоторой формулой/схемой. Чтобы получить формулу/схему, представляющую функцию $𝑓^∗$, нужно заменить в формуле все операции и константы / функциональные элементы на двойственные им.
+
+
+# Самодвойственные функции
+**Самодвойственная функция** (класс S) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = f^*(x_1, x_2, \dots, x_n)$
+Не существует самодвойственных функций, существенно зависящих от 2х переменных
+
+# Замкнутость класса 𝑆
+## Теорема
+Класс S замкнут
+## Доказательство
+Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in S$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in S$
+Рассмотрим $h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$
+Из принципа двойственности, $h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m)) = h$, следовательно, $h \in S$
+
+# Лемма о несамодвойственной функции
+Если функция f несамодвойственна, то константы являются суперпозицией функций $f$ и $\bar x$. Т.е. если $f \notin S$, то ${0,1} \subseteq [\{f, \bar x\}]$
+## Доказательство
+Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin S$. Тогда существует такой набор $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$, что $f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c \in \{0,1\}$ ([[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной|Разложение по переменной]])
+
+$h(x) = f(x^{\alpha_1}, x^{\alpha_2}, \dots, x^{\alpha_n})$
+$h(0) = f(0^{\alpha_1}, 0^{\alpha_2}, \dots, 0^{\alpha_n}) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c$
+$h(1) = f(1^{\alpha_1}, 1^{\alpha_2}, \dots, 1^{\alpha_n}) = f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = c$
+
+Следовательно, $h(x) = c$, $\overline{h(x)} = \bar c$

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md

@@ -0,0 +1,62 @@
+> Покомпонентный порядок. Монотонные функции. Замкнутость класса 𝑀. Лемма о немонотонной функции
+
+# Покомпонентный порядок
+**Покомпонентно меньше или равно** ($\preceq$) - $a \preceq b \Leftrightarrow \forall i \in \overline{1..n}: a_i \le b_i$ - отношение порядка (рефлексивно, антисимметрично и транзитивно)
+
+Диаграмма Хассе упорядоченного множества наборов длины 3 по отношению $\preceq$.
+```mermaid
+flowchart TD
+    1,1,1 --> 0,1,1
+	1,1,1 --> 1,0,1
+	1,1,1 --> 1,1,0
+	
+	1,1,0 --> 1,0,0
+	1,0,1 --> 1,0,0 --> 0,0,0
+	
+	1,1,0 --> 0,1,0
+	0,1,1 --> 0,1,0 --> 0,0,0
+	
+	1,0,1 --> 0,0,1
+	0,1,1 --> 0,0,1 --> 0,0,0
+```
+
+# Монотонные функции
+**Монотонная функция** (класс М) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$, если $f(\tilde a) \le f(\tilde b)$ для любых $\tilde a \preceq \tilde b$
+
+# Замкнутость класса 𝑀
+## Теорема
+Класс M замкнут
+## Доказательство
+Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in M$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in M$
+Рассмотрим $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
+Тогда $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$
+
+Возьмём 2 набора значений переменных функции h: $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m)$ и $(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$ такие, что $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) \preceq (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$
+
+Обозначим $\gamma^` = g(\beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m), \gamma^{``} = g(\beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$
+
+Тогда $y^` \le y^{``}$ и $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) \preceq (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$, а раз $f \in M$, $f(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) \le f(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$
+
+Заметим, что 
+$h(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) = f(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`)$ 
+$h(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m) = f(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$
+
+Т.е. $h(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) \le h(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$
+Так что $h \in M$
+
+# Лемма о немонотонной функции
+## Лемма
+Если функция 𝑓 немонотонна, то функция $\bar 𝑥$ является суперпозицией функций f, 0 и 1. То есть если $f \notin M$, то $\bar x \in [\{f, 0, 1\}]$.
+
+## Доказательство
+Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin M$. Тогда существуют такие наборы значений переменных $\tilde\alpha$ и $\tilde\beta$, что $\tilde\alpha \prec^* \tilde\beta$ (соседние) и $f(\tilde\alpha) > f(\tilde\beta)$ (Т.е. $f(\tilde\alpha) = 1$ и $f(\tilde\beta) = 0$)
+
+Т.к. $\tilde\alpha \prec^* \tilde\beta$, то 
+$\tilde\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 0, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$
+$\tilde\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 1, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$
+
+Введём функцию $h(x) = f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, x, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$
+$h(0) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 0, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) = f(\tilde\alpha) = 1$
+$h(1) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 1, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) = f(\tilde\alpha) = 0$
+
+Следовательно, $h(x) = \bar x$

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/13.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+# Теорема о сокращённой ДНФ монотонной функции
+## Теорема
+Функция является монотонной тогда и только тогда, когда её сокращённая ДНФ не содержит отрицаний.
+
+## Доказательство
+Пусть f представлена [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2#ДНФ|ДНФ]], не содержащий отрицаний. Т.к. такая ДНФ содержит только операции $\vee$ и $\wedge$, то $f \in [\{\vee, \wedge\}]$. В свою очередь, $\{\vee, \wedge\} \subseteq M$ и $[\{\vee, \wedge\}] \subseteq M$
+Таким образом, $f \in M$
+
+Теперь докажем, что если $f \in M$, то её [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4#Сокращённая ДНФ|сокр.ДНФ]] не содержит отрицаний:
+
+Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in M$. Рассмотрим простую [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4#Импликанта|импликанту]] A. Предположим, что A содержит отрицание. НУО, пусть $A = x^0_1 \cdot x^{\alpha_2}_2 \cdot x^{\alpha_3}_3 \dots x^{\alpha_k}_k$
+
+Рассмотрим набор $\tilde\alpha = (0, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_k, 0, \dots, 0)$. Очевидно, $A(\tilde\alpha) = 1$. Т.к. A - импликанта f, то $f(\tilde\alpha_0) = 1$
+
+Для любого набора $\tilde\beta = (1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_k, \beta_{k+1}, \dots, \beta_n)$ выполняется $\tilde\alpha \preceq \tilde\beta$. Поскольку $f \in M$, то $f(\tilde\beta) = 1$. Итак, при любых $\beta_{k+1}, \dots, \beta_n$, любая элементарная конъюнкция $x^1_1 \cdot x^{\alpha_2}_2 \cdot x^{\alpha_3}_3 \dots x^{\alpha_k}_k \cdot x^{\beta_{k+1}}_{k+1} \dots x^{\beta_n}_n$ является импликантой f
+
+Склейкой по всем переменным $x_{k+1}, \dots, x_n$ получаем импликанту $A^` = x^1_1 \cdot x^{\alpha_2}_2 \cdot x^{\alpha_3}_3 \dots x^{\alpha_k}_k$. Тогда по свойству склейки, $A \vee A^` = x^{\alpha_2}_2 \cdot x^{\alpha_3}_3 \dots x^{\alpha_k}_k$ - тоже импликанта f. Но тогда A не является простой импликантой. Противоречие

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md

@@ -37,9 +37,12 @@
 6. Закон Блейка-Порецкого
 	   $x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$
 	   $x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$
-# **Булева формула**
+# Булева формула
 \- формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1
 
 # Нормальные формы (ДНФ и КНФ)
-- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты
-- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m$, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции
+## ДНФ
+**Дизъюнктивная нормальная форма** - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты
+
+## КНФ
+**Конъюнктивная нормальная форма** - формула 1 или формула вида $D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m$, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 	Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ.
 
 # Совершенные ДНФ и КНФ
-- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ)
+- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ) ^809b89
 - **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ)
 # Разложение функции по переменной
    $$

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md

@@ -28,7 +28,7 @@
 f - логическая функция
 P(f) - её полином
 
-- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Совершенные ДНФ и КНФ|СДНФ]])
+- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#^809b89|СДНФ]])
 - В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$)
 - Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон
 - Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$)

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md

@@ -1,10 +1,9 @@
 	Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
 # Ациклический орграф
-**Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов
-**Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины
-
-**Полустепень исхода** ($deg^-(x)$) - число рёбер орграфа, выходящих из вершины x
-**Полустепень захода** ($deg^+(x)$) - число рёбер, входящих в вершину x
+- **Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов
+- **Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины
+- **Полустепень исхода** ($deg^-(x)$) - число рёбер орграфа, выходящих из вершины x
+- **Полустепень захода** ($deg^+(x)$) - число рёбер, входящих в вершину x ^3dbfa3
 
 # Теорема о монотонной нумерации
 ###### Теорема
@@ -16,4 +15,4 @@
 
 Пусть $\exists$ вершина b так, что $(b,a) \in E$ , тогда вершина
 - не принадлежит P, иначе цикл
-- имеет номер, иначе есть путь больше P
+- имеет номер, иначе есть путь больше P ^0f0cfe

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md

@@ -3,19 +3,20 @@
 # Схемы из функциональных элементов
 **СФЭ** (Схема из функциональных элементов) - ациклический орграф, содержащий вершины двух типов:
 1. **Входные** (источники) - к вершине приписан уникальный символ переменной
-2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7#Ациклический орграф|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1
+2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7#^3dbfa3|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1
 Для гейтов используется ограниченный набор функций:
 - **Стандартный** - $\wedge, \vee, \bar{}$
 - **Базис Жегалкина** - $\oplus, \wedge, 1$
 # Сложность и глубина схем
-**Сложность схемы** - число гейтов в схеме
-**Схемная сложность** функции ($L(f)$) - наименьшая сложность схемы, вычисляющий функцию
-**$L(n)$** - наибольшая системная сложность функции от n переменных
+- **Сложность схемы** - число гейтов в схеме
+- **Схемная сложность** функции ($L(f)$) - наименьшая сложность схемы, вычисляющий функцию
+- **$L(n)$** - наибольшая системная сложность функции от n переменных
 
-> ![NOTE]
+> [!Заметка]
 > $L(f)$ и $L(n)$ зависят от базиса
+> 
 
-**Глубина схемы** - наибольшая длина ориентированного пути, с началом во входной вершине
+- **Глубина схемы** - наибольшая длина ориентированного пути, с началом во входной вершине
 
 # Способы построения схем в стандартном базисе
 1. Использование нормальных форм

1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-06.md

@@ -1,4 +0,0 @@
-1. [x] Логическая функция и способы её задания. Число логических функций. Существенные и фиктивные переменные. Основные операции алгебры логики. Логические формулы. Эквивалентность функций. Эквивалентность формул.
-2. [x] Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ.
-3. [ ] Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ.
-4. [x] Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ.

1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-07.md

@@ -1,4 +0,0 @@
-1. [x] Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона.
-2. [x] Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.
-3. [ ] Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
-4. [ ] Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе.

1 курс/2 семестр/Дискретка/Ежедневка/2024-06-08.md

@@ -1,4 +0,0 @@
-1. [x] Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
-2. [x] Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе.
-3. [ ] Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.
-4. [ ] Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов 𝑇0, 𝑇1.