University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/8.md

ДУ второго порядка. Задача Коши.

1. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение вида

F\left(x, y, y', y''\right) = 0 \tag{1}

где y = y(x) - неизвестная функция, x - независимая переменная, y' и y'' - первая и вторая производные функции y(x) по переменной x, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Если дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде

y'' = f\left(x, y, y'\right) \tag{2}

то оно называется явным дифференциальным уравнением второго порядка. В противном случае, если уравнение нельзя записать в виде (2), оно называется неявным дифференциальным уравнением второго порядка.

2. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка можно классифицировать по следующим признакам:

• Линейность/нелинейность: если функция f в уравнении (2) является линейной функцией от y и y', то уравнение называется линейным; в противном случае, если функция f является нелинейной функцией от y и y', то уравнение называется нелинейным.

• Однородность/неоднородность: если функция f в уравнении (2) является однородной функцией от y и y', то уравнение называется однородным; в противном случае, если функция f является неоднородной функцией от y и y', то уравнение называется неоднородным.

• Постоянство/переменность коэффициентов: если функция f в уравнении (2) не зависит от переменной x, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами; в противном случае, если функция f зависит от переменной x, то уравнение называется уравнением с переменными коэффициентами.

3. Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка (1) состоит в нахождении решения y(x), удовлетворяющего начальным условиям:

y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y'_0 \tag{3}

где x_0, y_0 и y'_0 - заданные числа.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Если функция f в уравнении (2) непрерывна в некоторой области D \subset \mathbb{R}^3, содержащей точку (x_0, y_0, y'_0), то в этой области существует единственное решение y(x) задачи Коши (1), (3).

4. Примеры решения задач Коши для дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим несколько примеров решения задач Коши для дифференциальных уравнений второго порядка.

Пример 1. Решить задачу Коши:

y'' - 3y' + 2y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = -1

Решение. Найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 3r + 2 = 0

Найдем корни этого уравнения:

r_1 = 1, \quad r_2 = 2

Общее решение уравнения:

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}

Найдем производную y'(x):

y'(x) = C_1 e^{x} + 2C_2 e^{2x}

Используя начальные условия, находим константы C_1 и C_2:

\begin{cases}
C_1 + C_2 = 1 \\
C_1 + 2C_2 = -1
\end{cases}

Решаем систему уравнений:

C_1 = 2, \quad C_2 = -1

Получаем решение задачи Коши:

y(x) = 2e^{x} - e^{2x}

Пример 2. Решить задачу Коши:

y'' + y = \sin(x), \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения y'' + y = 0:

y_0(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)

Найдем частное решение неоднородного уравнения y'' + y = \sin(x) методом неопределенных коэффициентов:

y_p(x) = A \cos(x) + B \sin(x)

Подставим y_p(x) в уравнение:

-A \cos(x) - B \sin(x) + A \cos(x) + B \sin(x) = \sin(x)

Отсюда находим A = 0 и B = -\frac{1}{2}. Получаем частное решение:

y_p(x) = -\frac{1}{2} \sin(x)

Общее решение уравнения:

y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) - \frac{1}{2} \sin(x)

Найдем производную y'(x):

y'(x) = -C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) - \frac{1}{2} \cos(x)

Используя начальные условия, находим константы C_1 и C_2:

\begin{cases}
C_1 = 0 \\
C_2 - \frac{1}{2} = 1
\end{cases}

Решаем систему уравнений:

C_1 = 0, \quad C_2 = \frac{3}{2}

Получаем решение задачи Коши:

y(x) = \frac{3}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \sin(x) = \sin(x)