University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/7.md

ДУ в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \tag{1}

называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если существует функция u(x, y), такая что

du = M(x, y) dx + N(x, y) dy \tag{2}

Функция u(x, y) в этом случае называется первообразной дифференциального уравнения (1).

2. Необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах

Теорема. Для того, чтобы дифференциальное уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \tag{3}

Это условие называется условием интегрируемости дифференциального уравнения (1).

3. Восстановление функции по ее полному дифференциалу

Если дифференциальное уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно решить, восстановив функцию u(x, y) по ее полному дифференциалу (2). Для этого необходимо:

• Вычислить частные производные \frac{\partial u}{\partial x} и \frac{\partial u}{\partial y} из уравнения (2):

\frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y} = N(x, y)

• Интегрировать одну из этих частных производных по соответствующей переменной, считая другую переменную постоянной. Например, интегрируем \frac{\partial u}{\partial x} по x:

u(x, y) = \int M(x, y) dx + \varphi(y)

Здесь \varphi(y) - произвольная функция от y, которая появляется при интегрировании по x.

• Найти производную u(x, y) по другой переменной (\frac{\partial u}{\partial y}) и сравнить ее с N(x, y):

\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x, y) dx \right) + \varphi'(y) = N(x, y)

• Из последнего равенства определить функцию \varphi(y) и подставить ее в выражение для u(x, y).

4. Примеры решения ДУ в полных дифференциалах

Рассмотрим несколько примеров решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

Пример 1. Решить уравнение:

(2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy = 0 \tag{4}

Решение. Проверим условие интегрируемости (3):

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy + y^2) = 2x + 2y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 2xy) = 2x + 2y

Условие интегрируемости выполняется, значит, уравнение (4) является уравнением в полных дифференциалах. Восстановим функцию u(x, y) по ее полному дифференциалу:

du = (2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy

Найдем частные производные \frac{\partial u}{\partial x} и \frac{\partial u}{\partial y}:

\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy + y^2, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy

Интегрируем \frac{\partial u}{\partial x} по x:

u(x, y) = \int (2xy + y^2) dx = x^2y + xy^2 + \varphi(y)

Найдем \frac{\partial u}{\partial y} и сравним его с N(x, y):

\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy + \varphi'(y) = x^2 + 2xy

Отсюда находим \varphi'(y) = 0 и \varphi(y) = C, где C - произвольная постоянная. Получаем функцию u(x, y):

u(x, y) = x^2y + xy^2 + C

Общее решение уравнения (4):

x^2y + xy^2 = C \tag{5}

Пример 2. Решить уравнение:

(ye^{xy} + 2x) dx + (xe^{xy} - 1) dy = 0 \tag{6}

Решение. Проверим условие интегрируемости (3):

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (ye^{xy} + 2x) = e^{xy} + xye^{xy}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xe^{xy} - 1) = e^{xy} + xye^{xy}

Условие интегрируемости выполняется, значит, уравнение (6) является уравнением в полных дифференциалах. Восстановим функцию u(x, y) по ее полному дифференциалу:

du = (ye^{xy} + 2x) dx + (xe^{xy} - 1) dy

Найдем частные производные \frac{\partial u}{\partial x} и \frac{\partial u}{\partial y}:

\frac{\partial u}{\partial x} = ye^{xy} + 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = xe^{xy} - 1

Интегрируем \frac{\partial u}{\partial x} по x:

u(x, y) = \int (ye^{xy} + 2x) dx = e^{xy} + x^2 + \varphi(y)

Найдем \frac{\partial u}{\partial y} и сравним его с N(x, y):

\frac{\partial u}{\partial y} = xe^{xy} + \varphi'(y) = xe^{xy} - 1

Отсюда находим \varphi'(y) = -1 и \varphi(y) = -y + C, где C - произвольная постоянная. Получаем функцию u(x, y):

u(x, y) = e^{xy} + x^2 - y + C

Общее решение уравнения (6):

e^{xy} + x^2 - y = C \tag{7}