University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/1.md

Понятие обыкновенного ДУ, порядок ДУ, решение ДУ.

Определение:

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение, содержащее неизвестную функцию одной переменной и ее производные. ОДУ записывается в виде равенства двух выражений, содержащих неизвестную функцию и ее производные.

Пусть y = y(x) - неизвестная функция одной переменной x. Тогда обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0

где F - некоторая функция от x, y, y', y'', ..., y^{(n)}, y' - первая производная функции y по переменной x, y'' - вторая производная функции y по переменной x, ..., y^{(n)} - $n$-я производная функции y по переменной x.

Порядком ОДУ называется наибольший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Порядком ОДУ называется наибольший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, т.е. n.

Решением ОДУ называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале.

Решением ОДУ называется любая функция \phi(x), удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале, т.е. такая, что:

F(x, \phi(x), \phi'(x), \phi''(x), ..., \phi^{(n)}(x)) = 0

для всех x из некоторого интервала.

Изоклинами называются кривые на фазовой плоскости (x, y), соответствующие решениям ОДУ с постоянным значением производной y'. Изоклины позволяют визуализировать поведение решений ОДУ и определить их свойства.

Примеры:

1. Найти решение ОДУ первого порядка:

y' + 2y = 0

Решение:

Разделим обе части уравнения на e^{2x}:

\frac{y'}{e^{2x}} + \frac{2y}{e^{2x}} = 0

Заметим, что левая часть уравнения является производной функции ye^{-2x}:

(ye^{-2x})' = 0

Интегрируем обе части уравнения:

ye^{-2x} = C

где C - произвольная постоянная.

Решение ОДУ:

y = Ce^{2x}

Ответ: Общее решение ОДУ y' + 2y = 0 имеет вид y = Ce^{2x}.

2. Найти решение ОДУ второго порядка:

y'' - 3y' + 2y = 0

Решение:

Найдем характеристический многочлен уравнения:

\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0

Найдем корни характеристического многочлена:

\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2

Так как корни характеристического многочлена различны, то общее решение ОДУ имеет вид:

y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} = C_1e^{x} + C_2e^{2x}

где C_1 и C_2 - произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение ОДУ y'' - 3y' + 2y = 0 имеет вид y = C_1e^{x} + C_2e^{2x}.

3. Найти изоклины ОДУ первого порядка:

y' = x - y

Решение:

Запишем уравнение изоклин:

y' = C

где C - произвольная постоянная.

Решим это уравнение относительно y:

y = x - C

Ответ: Изоклины ОДУ y' = x - y имеют вид y = x - C.