University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md

Свойства определенного интеграла

1. Линейность:

     int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx,
   

   где \alpha и \beta - константы.

2. Аддитивность:

     int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx,
   

   где c \in [a, b].

3. Неравенство:

     text{Если } f(x) \ge g(x) \text{ на } [a, b], \text{ то } \int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx.
   

4. Оценка модуля интеграла:

     left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \, dx.
   

5. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

     int_a^a f(x) \, dx = 0.
   

6. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

     int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt.
   

7. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

     int_a^b k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx.
   

8. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов:

     int_a^b \left( f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x) \right) dx = \int_a^b f_1(x) \, dx + \int_a^b f_2(x) \, dx + \dots + \int_a^b f_n(x) \, dx.
   

9. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определенный интеграл по всему отрезку равен сумме определенных интегралов по его частям:

     int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx, \quad a < c < b.
   

10. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определенного интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак:

    
    \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx.
    

11. Определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке x_0 внутри его (теорема Лагранжа о среднем значении):

    
    \int_a^b f(x) \, dx = f(x_0) \cdot (b - a), \quad x_0 \in (a, b).
    

12. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определенный интеграл неотрицателен (положителен):

    
    \text{Если } a < b \text{ и } f(x) \ge 0 \text{ на } [a, b], \text{ то } \int_a^b f(x) \, dx \ge 0.
    

13. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции f(x) и g(x) непрерывны, то неравенство f(x) \ge g(x) можно почленно интегрировать:

    
    \text{Если } a < b, \, f(x) \ge g(x) \text{ на } [a, b] \text{ и } f, g - \text{непрерывны, то } \int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx.