University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md

Несобственный интеграл 2-го рода: определение, признак сравнения

Несобственный интеграл 2-го рода

Пусть дана функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b] и имеющая бесконечность в точке c \in (a, b). Тогда несобственный интеграл 2-го рода от функции f(x) на отрезке [a, b] определяется как предел:

\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_a^{c-\varepsilon} f(x) \, dx + \int_{c+\varepsilon}^b f(x) \, dx \right),

при условии, что этот предел существует.

Если функция f(x) имеет бесконечность в конце отрезка интегрирования, то несобственный интеграл 2-го рода определяется аналогично.

Признак сравнения

Признак сравнения - это один из основных методов исследования сходимости несобственных интегралов 2-го рода. Он основан на сравнении исследуемого интеграла с другим интегралом, сходимость или расходимость которого уже известна.

Пусть даны две функции f(x) и g(x), непрерывные на отрезке [a, b] и имеющие бесконечность в точке c \in (a, b), и пусть 0 \le f(x) \le g(x) для всех x \in [a, b] \setminus \{c\}. Тогда:

• Если несобственный интеграл \int_a^b g(x) \, dx сходится, то несобственный интеграл \int_a^b f(x) \, dx также сходится.

• Если несобственный интеграл \int_a^b f(x) \, dx расходится, то несобственный интеграл \int_a^b g(x) \, dx также расходится.

Аналогичные утверждения справедливы для несобственных интегралов на отрезке [a, +\infty), (-\infty, b] и (-\infty, +\infty).

Примеры

1. Исследовать сходимость несобственного интеграла \int_0^1 \frac{\sin x}{x} \, dx. Решение: Заметим, что функция f(x) = \frac{\sin x}{x} непрерывна на отрезке (0, 1] и имеет бесконечность в точке x = 0. Кроме того, она положительна на этом отрезке. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию g(x) = 1. Тогда:

      \le \frac{\sin x}{x} \le 1 \quad \forall x \in (0, 1].
   

   Несобственный интеграл \int_0^1 1 \, dx сходится, поэтому несобственный интеграл \int_0^1 \frac{\sin x}{x} \, dx также сходится.

2. Исследовать сходимость несобственного интеграла \int_0^1 \frac{1}{x \ln x} \, dx. Решение: Заметим, что функция f(x) = \frac{1}{x \ln x} непрерывна на отрезке (0, 1] и имеет бесконечность в точке x = 0. Кроме того, она положительна на этом отрезке. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию g(x) = \frac{1}{x^{1-\varepsilon}}, где 0 < \varepsilon < 1. Тогда:

      \le \frac{1}{x \ln x} \le \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \quad \forall x \in (0, 1].
   

   Несобственный интеграл \int_0^1 \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \, dx сходится при 0 < \varepsilon < 1, поэтому несобственный интеграл \int_0^1 \frac{1}{x \ln x} \, dx также сходится.