University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md

Несобственный интеграл 1-го рода: определение, признак сравнения

Несобственный интеграл 1-го рода

Пусть дана функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b), и пусть \int_a^b f(x) \, dx - ее определенный интеграл на этом отрезке. Тогда несобственный интеграл 1-го рода от функции f(x) на отрезке [a, +\infty) определяется как предел:

\int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \, dx,

при условии, что этот предел существует.

Аналогично, несобственный интеграл 1-го рода от функции f(x) на отрезке (-\infty, b] определяется как предел:

\int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \, dx,

при условии, что этот предел существует.

Если функция f(x) имеет бесконечность в точке c области интегрирования, то несобственный интеграл 1-го рода от функции f(x) на отрезке [a, b] определяется как предел:

\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_a^{c-\varepsilon} f(x) \, dx + \int_{c+\varepsilon}^b f(x) \, dx \right),

при условии, что этот предел существует.

Признак сравнения

Признак сравнения - это один из основных методов исследования сходимости несобственных интегралов 1-го рода. Он основан на сравнении исследуемого интеграла с другим интегралом, сходимость или расходимость которого уже известна.

Пусть даны две функции f(x) и g(x), непрерывные на отрезке [a, +\infty), и пусть 0 \le f(x) \le g(x) для всех x \in [a, +\infty). Тогда:

• Если несобственный интеграл \int_a^{+\infty} g(x) \, dx сходится, то несобственный интеграл \int_a^{+\infty} f(x) \, dx также сходится.

• Если несобственный интеграл \int_a^{+\infty} f(x) \, dx расходится, то несобственный интеграл \int_a^{+\infty} g(x) \, dx также расходится.

Аналогичные утверждения справедливы для несобственных интегралов на отрезке (-\infty, b] и на отрезке [a, b], содержащем точку бесконечности функции.

Примеры

1. Исследовать сходимость несобственного интеграла \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx. Решение: Заметим, что функция f(x) = \frac{1}{x^2} непрерывна и положительна на отрезке [1, +\infty). Кроме того, она убывает, поэтому можно воспользоваться признаком сравнения. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию g(x) = \frac{1}{x^{1+\varepsilon}}, где \varepsilon > 0. Тогда:

      \le \frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^{1+\varepsilon}} \quad \forall x \in [1, +\infty).
   

   Несобственный интеграл \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{1+\varepsilon}} \, dx сходится при \varepsilon > 0, поэтому несобственный интеграл \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx также сходится.

2. Исследовать сходимость несобственного интеграла \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx. Решение: Заметим, что функция f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} непрерывна и положительна на отрезке (0, 1]. Кроме того, она имеет бесконечность в точке x = 0. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию g(x) = \frac{1}{x^{1-\varepsilon}}, где 0 < \varepsilon < 1. Тогда:

      \le \frac{1}{\sqrt{x}} \le \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \quad \forall x \in (0, 1].
   

   Несобственный интеграл \int_0^1 \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \, dx сходится при 0 < \varepsilon < 1, поэтому несобственный интеграл \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx также сходится.