University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md

Понятие неопределенного интеграла, его свойства

Неопределенный интеграл

Пусть f(x) - непрерывная функция на отрезке [a,b]. Тогда неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех функций F(x), для которых выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

Обозначение:

\int f(x)dx = F(x) + C

где C - произвольная константа, называемая постоянной интегрирования.

Геометрический смысл неопределенного интеграла состоит в том, что он представляет собой семейство кривых, которые можно получить из графика функции f(x) путем его вертикального сдвига на величину C.

Свойства:

1. Производная равна подынтегральному выражению. \left(\int f(x)dx\right)' = f(x)
2. Интеграл от суммы равен сумме интеграла. \int f(x)dx + g(x) = \int f(x)dx + \int g(x)dx
3. Константу можно вынести из-под знака интеграла. \int a \cdot f(x)dx = a \cdot \int f(x)dx
4. Интеграл разности равен разности интегралов. \int \left(f(x) - g(x)\right)dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx