2.5 KiB
Функции, сохраняющие константы. Замкнутость классов
𝑇_0,𝑇_1
Функции, сохраняющие константы
Функции, сохраняющие 0
Функция сохраняет константу 0, если f(0, 0, \dots, 0) = 0 и обозначается T_0
Теорема. Класс T_0 замкнут
Достаточно доказать, что при применении операций переименования переменных и подстановки к функциям из класса получается функция из этого же класса.
Для переименования это очевидно.
Рассмотрим операцию подстановки. Пусть
𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛) \in 𝑇_0 и 𝑔(𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑚) \in 𝑇_0. Рассмотрим функцию ℎ, полученную в результате подстановки 𝑔 в 𝑓 вместо 𝑥_𝑘: ℎ = 𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_{𝑘−1}, 𝑔(𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑚), 𝑥_{𝑘+1}, \dots, 𝑥_𝑛)
Доказательство одинаковое при любом 𝑘, поэтому, не
теряя общности, положим 𝑘 = 𝑛: h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))
Отметим, что некоторые из 𝑦_1, 𝑦_2, \dots, 𝑦_𝑛 могут совпадать с некоторыми из 𝑥_1, 𝑥_2, \dots 𝑥_{𝑛−1}, то есть фактически ℎ может зависеть от меньшего числа переменных.
Подставляя нулевые значения, получаем ℎ(0, 0, \dots, 0) = 𝑓(0, \dots, 0, 𝑔 (0, 0, \dots, 0)) = 𝑓(0,0, \dots, 0) = 0 \Rightarrow ℎ \in 𝑇_0.
Если функция сохраняет 0, то определяется своими значениями на всех наборах значений переменных, кроме набора (0, 0, \dots, 0), т.е. 2^n - 1. Следовательно, число функций, сохраняющих 0 - 2^{2^n - 1}
Функция сохраняет константу 1, если f(1, 1, \dots, 1) = 1 и обозначается T_1
Теорема. Класс T_1 замкнут
Доказательство аналогичное