University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md

Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов

Введение

Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость знакоположительных рядов, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.

Формулировка интегрального признака

Пусть f(x) — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале [1, \infty). Рассмотрим ряд: \sum_{n=1}^{\infty}f(n)

Интегральный признак утверждает, что ряд \sum_{n=1}^{\infty}f(n) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл: \int_{1}^{\infty}f(x)dx

Доказательство интегрального признака

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k) и соответствующие интегралы I_n=\int_{1}^{n}f(x)dx.

Поскольку f(x) убывает, можно записать неравенства: f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)

Суммируя эти неравенства от k=1 до k=n-1, получаем: \sum_{k=2}^{n}f(k)\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}f(k)

Или, что эквивалентно: S_n-f(1)\leq I_n\leq S_{n-1}

Если интеграл \int_{1}^{\infty}f(x)dx сходится, то I_n ограничено, и, следовательно, S_n также ограничено, что означает сходимость ряда \sum_{n=1}^{\infty}f(n).

Аналогично, если интеграл \int_{1}^{\infty}f(x)dx расходится, то I_n не ограничено, и, следовательно, S_n также не ограничено, что означает расходимость ряда \sum_{n=1}^{\infty}f(n).

Примеры

1. Гармонический ряд: Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Функция f(x)=\frac{1}{x} убывает и положительна на [1, \infty). Вычислим интеграл: \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty

Поскольку интеграл расходится, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} также расходится.

2. Обобщенный гармонический ряд: Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}, где p>1.

Функция f(x)=\frac{1}{x^p} убывает и положительна на [1, \infty). Вычислим интеграл: \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\left[-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}

Поскольку интеграл сходится, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} также сходится при p>1.