University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md

Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов

Введение

Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.

Признак Даламбера

Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда \sum_{n=1}^{\infty} a_n на основе предела отношения последовательных членов ряда.

Пусть a_n > 0 для всех n. Рассмотрим предел: \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L

• Если L < 1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n сходится.
• Если L > 1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n расходится.
• Если L = 1, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.

Пример

Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.

Вычислим предел: \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}

Поскольку \frac{1}{2} < 1, ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} сходится по признаку Даламбера.

Признак Коши (корневой признак)

Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда \sum_{n=1}^{\infty} a_n на основе предела корня из $n$-го члена ряда.

Пусть a_n > 0 для всех n. Рассмотрим предел: \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L

• Если L < 1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n сходится.
• Если L > 1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n расходится.
• Если L = 1, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.

Пример

Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n.

Вычислим предел: \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty

Поскольку \infty > 1, ряд \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n расходится по признаку Коши.