University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md

Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье.

Введение

Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции f(x) имеет вид: f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))

где a_n и b_n — коэффициенты Фурье.

Коэффициенты Фурье

Коэффициенты Фурье a_n и b_n определяются следующими формулами: a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx

Пример

Рассмотрим функцию f(x)=x на интервале [-\pi,\pi].

Вычислим коэффициенты Фурье: a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0 a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)dx=0 b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}

Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=x имеет вид: f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)

Достаточное условие разложимости в ряд Фурье

Теорема

Пусть f(x) — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале [-\pi,\pi]. Тогда f(x) разлагается в ряд Фурье, который сходится к f(x) в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.

Доказательство

Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция f(x) кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале [-\pi,\pi], то её ряд Фурье сходится к f(x) в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.

Примеры

1. Функция f(x)=|x| на интервале $[-\pi,\pi]$: Вычислим коэффициенты Фурье: a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2} b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)dx=0

Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=|x| имеет вид: f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)

2. Функция f(x)=x^2 на интервале $[-\pi,\pi]$: Вычислим коэффициенты Фурье: a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{4(-1)^n}{n^2} b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0

Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=x^2 имеет вид: f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)