Kirill
2.5 KiB
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
Введение
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения x_0=0. Ряд Маклорена для функции f(x) имеет вид:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
Разложение элементарных функций
Экспоненциальная функция
Функция f(x)=e^x разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
Доказательство
Вычислим производные функции f(x)=e^x:
f^{(n)}(x)=e^x
Таким образом, f^{(n)}(0)=1 для всех n. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n
Синус
Функция f(x)=\sin(x) разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
Доказательство
Вычислим производные функции f(x)=\sin(x):
f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)
f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)
Таким образом, f^{(2n)}(0)=0 и f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
Косинус
Функция f(x)=\cos(x) разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
Доказательство
Вычислим производные функции f(x)=\cos(x):
f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)
f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)
Таким образом, f^{(2n)}(0)=(-1)^n и f^{(2n+1)}(0)=0. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
Логарифм
Функция f(x)=\ln(1+x) разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}
Доказательство
Вычислим производные функции f(x)=\ln(1+x):
f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}
Таким образом, f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}