University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md

Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

Числовые ряды

Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

где (a_n ) — общий член ряда.

Общий член ряда

Общий член ряда ( a_n ) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда. Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как ( a_n = ar^n ), где ( a ) — первый член, а ( r ) — отношение между последующими членами.

Сумма ряда

Сумма ряда ( S ) — это предел частичных сумм ( S_n ):

S = \lim_{n \to \infty} S_n

где ( S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k).

Необходимое условие сходимости ряда

Необходимое условие сходимости ряда заключается в том, что если ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n) сходится, то его общий член ( a_n ) должен стремиться к нулю при ( n \to \infty ): \lim_{n \to \infty} a_n = 0

Однако это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ) расходится, несмотря на то, что его общий член ( \frac{1}{n} ) стремится к нулю.

Примеры

1. Геометрический ряд: \sum_{n=0}^{\infty} ar^n Сходится, если ( |r| < 1 ).

2. Гармонический ряд: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} Расходится.