University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md

Формула Ньютона-Лейбница

Формулировка формулы Ньютона-Лейбница

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и пусть F(x) - любая первообразная функции f(x) на этом отрезке. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b] можно вычислить по формуле:

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).

Здесь F(b) и F(a) - значения первообразной функции в точках b и a, соответственно.

Геометрический смысл формулы Ньютона-Лейбница

Геометрически формула Ньютона-Лейбница означает, что площадь, ограниченная графиком непрерывной функции f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b, равна разности значений первообразной функции F(x) в точках b и a.

Примеры применения формулы Ньютона-Лейбница

Рассмотрим несколько примеров вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

1. Вычислим интеграл \int_0^1 x^2 \, dx. Первообразная функции f(x) = x^2 имеет вид F(x) = \frac{x^3}{3}. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

     int_0^1 x^2 \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.
   

2. Вычислим интеграл \int_1^e \frac{1}{x} \, dx. Первообразная функции f(x) = \frac{1}{x} имеет вид F(x) = \ln|x|. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

   
   \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = F(e) - F(1) = \ln|e| - \ln|1| = 1.
   

Свойства определенного интеграла, следующие из формулы Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница позволяет доказать многие свойства определенного интеграла, такие как линейность, аддитивность, неравенство и другие. Например, из формулы Ньютона-Лейбница следует, что определенный интеграл линеен:

\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx,

где \alpha и \beta - константы.