University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md

Ряд

Числовой ряд

Основные понятия

Числовой ряд - выражение вида \sum\limits^\infty_{n=1} a_n, где a_1, a_2, \dots - действительные члены ряда, a_n - общий член ряда ^3caa0c

n-ая сумма ряда S_n = \sum\limits^i_{n=2}a_n,

• Если \exists конечный \lim\limits_{n\to\infty} S_n = S, то ряд сходится
• Если \lim\limits_{n\to\infty} S_n = \infty или \nexists, то расходится

Ряд геометрической прогрессии

\sum\limits^\infty_{n=1} (b_1 \cdot q^{n-1}) S_n = \frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q^n}, q \neq 1

1. |q| < 1: \lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_1 \cdot q^{n+1}}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} - сумма ряда
2. |q| > 1: \lim\limits_{n\to\infty}S_n = \infty \Rightarrow ряд расходится
3. q = 1: \sum\limits^\infty_{n=1}b_1 = b_1 \cdot n \to \infty q = -1: S =\begin{cases}b_1, & \text{n - нечётное}\\0, & \text{n - чётное}\end{cases}\Rightarrow \nexists\lim\limits_{n\to\infty}S_n \sum\limits^n_{k=1} \frac 1 {n(n+1)} = \sum\limits^n_{k=1}(\frac 1 k - \frac 1 {k+1}) = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 2 - \frac 1 3 + \dots = 1 - \frac 1 {n+1}; \lim\limits_{n\to\infty}S_n = 1 \sum\limits^\infty_{n=1}\frac 1 n - гармонический ряд

Действия с рядами

1. Если \sum a_n и \sum b_n сходятся, то \exists\alpha\in\mathbb R т.ч. \sum(a_n \pm b_n) сходится и \sum(\alpha \cdot a_n) = \alpha \cdot \sum a_n, \sum(a_n \pm b_n) = \sum a_n \pm \sum b_n Доказательство:

• \sum\limits^\infty_{n=1}(\alpha \cdot a_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}(\alpha \cdot a_k) = \alpha \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits^n_{k=1}a_k = \alpha \cdot \sum\limits^\infty_{n=1}a_n
• \sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}(a_k \pm b_k) = \lim\limits_{b\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}a_k \pm \lim\limits_{b\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}b_k = \sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) \dots = \sum\limits^\infty_{n=1}a_n \pm \sum\limits^\infty_{n=1}b_n %% на паре не успел дописать%%

  [!замечание]

  1. Из сходимости \sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) следует сходимость \sum a_n и \sum b_n
  2. сх. \pm расх. = расх. расх. \pm расх. = ?

2. Исходный и полученный из него ряд добавлением или удалением конечного числа членов сходятся или расходятся одновременно

Необходимый признак сходимости

Теорема 1.2: Необходимый признак сходимости

Если \sum\limits^\infty_{n=1}a_n сходится, то \lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0

Доказательство

Пусть \sum a_n сходится, тогда \lim\limits_{n\to\infty}S_n = S < \infty \lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1} = S; a_n = S_n - S_{n-1} \lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}(S_n - S_{n-1}) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n - \lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1} = S - S = 0

Следствие

Если \lim\limits_{b\to\infty}a_n \neq 0, то \sum a_n расходится

Ряд с неотрицательными членами

\sum\limits^\infty_{n=1}a_n, \forall n \in \mathbb N : a_n \geqslant 0

Критерий сходимости

Ряд сходится \Leftrightarrow \exists M > 0: \forall n \in \mathbb N: S_n \leqslant M

Теорема 1.2: Признак сходимости рядов

\sum a_n, \sum b_n, где \forall n \in \mathbb N: a_n \geqslant 0, b_n \geqslant 0

1. Если a_n \leqslant b_n
   1. \sum b_n сходится \Rightarrow \sum a_n сходится
   2. \sum a_n расходится \Rightarrow \sum b_n расходится
2. Если \exists \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = A: 0 < A < +\infty, то \sum a_n и \sum b_n сходятся или расходятся одновременно

Теорема 1.3: Признак Даламбера

Если \exists \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = p,, то при p<1 ряд сходится, а при p > 1 - расходится

Признаки Дериале и Коми для знакопеременных рядов

Пусть для ряда \sum a_n, a_n \in \mathbb R, \exists конечный или бесконечный \lim\limits_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = q или \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = q; 0 \leqslant q \leqslant +\infty, тогда

1. q < 1: \sum a_n сходится абсолютно
2. q > 1: \sum a_n расходится
3. q = 1: ?

Теорема 1.4: Признак Дериале

Пусть дан ряд \sum(a_n \cdot b_n)

1. a_n \underset{n\to\infty}{\to} 0 монотонна
2. Если B_n = \sum b_n ограничена, то \sum(a_n \cdot b_n) сходится (\exists M > 0: \forall n \in \mathbb N: |B_n| < M)

Терема 1.5: Признак Абеля

%%Не дописал%%

Функциональные ряды

Основные понятия

a_n(x), x \in X \sum a_n(x) = a_1(x) + a_2(x) + \dots - функциональный ряд \sum a_n(x_0) - #^3caa0c S_n(x) = \sum\limits^n_{k=1}a_k(x) - n-ая частичная сумма ряда

Равномерная сходимость функциональных рядов

Свойства равномерно сходящихся рядов

1. \forall E > 0: \exists N = N(E) \in \mathbb N: \forall n > N: \forall x \in E: |r_n(x)| < E %%тут меня не было на многих парах%% f(x) \thicksim \sum\limits^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0) = S(x)

Теорема 4.1

f(x) = S(x) \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = 0, где R_n(x) = f(x) - P_n(x) - остаточный член формулы Тейлора

Доказательство

• \Rightarrow: f(x) = S(x), S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x) \lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - P_n(x)) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - S_n(x)) = f(x) - \lim\limits_{n\to\infty} S_n(x) = f(x) - f(x) = 0
• \Leftarrow: \lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = 0 S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}P_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - R_n(x)) = f(x) - \lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = f(x)

Теорема 4.2: Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора

Если \exists M > 0: \forall x \in U(x_0): |f^{(n)}(x)| \leqslant M, то в U(x_0) f(x) = S(x)