University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41.md

Поверхностные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

Определение поверхностного интеграла второго рода

Поверхностный интеграл второго рода векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} по поверхности S, параметризованной как (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) для (u, v) \in D, определяется как:

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,

где \mathbf{n} — единичный вектор нормали к поверхности S, а d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS — векторный элемент площади поверхности.

Если поверхность S задана уравнением z = f(x, y), то:

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{D}(-P\frac{\partial f}{\partial x}-Q\frac{\partial f}{\partial y}+R)\,dx\,dy,

где D — проекция поверхности S на плоскость xy.

Теорема существования поверхностного интеграла второго рода

Теорема существования поверхностного интеграла второго рода утверждает, что если компоненты векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) непрерывны на поверхности S, то поверхностный интеграл \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} существует.

Свойства поверхностных интегралов второго рода

1. Линейность:

   • Если \mathbf{F} и \mathbf{G} — векторные поля, интегрируемые по поверхности S, то для любых констант a и b:
   \iint_{S}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})\cdot d\mathbf{S}=a\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+b\iint_{S}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S}.

2. Аддитивность:

   • Если поверхность S состоит из двух частей S_1 и S_2, то:
   \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.

3. Обращение направления нормали:

   • Если изменить направление нормали \mathbf{n} на противоположное, то:
   \iint_{S}\mathbf{F}\cdot(-\mathbf{n})\,dS=-\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Рассмотрим пример вычисления поверхностного интеграла второго рода векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} по поверхности S, заданной уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат.

Сначала найдем нормаль к поверхности:

\mathbf{n}=\frac{\nabla(z-x^2-y^2)}{|\nabla(z-x^2-y^2)|}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.

Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла второго рода:

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy,

где D — круг радиуса R на плоскости xy.

В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда:

\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-2r^2+r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.

Упростим интеграл:

\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.

Теперь вычислим внутренний интеграл:

\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr.

Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.