University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/40.md

Приложения поверхностных интегралов первого рода

Вычисление площади поверхности

Площадь поверхности S можно вычислить с помощью поверхностного интеграла первого рода:

A=\iint_{S}dS.

Если поверхность S параметризована как (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) для (u, v) \in D, то площадь поверхности можно вычислить как:

A=\iint_{D}\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv,

где E, G и F — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:

E=\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2, G=\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2, F=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}.

Пример

Рассмотрим пример вычисления площади поверхности, заданной уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi.

Сначала параметризуем поверхность:

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=r^2.

Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы:

E=\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2=(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2+(2r)^2=1+4r^2, G=\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial\theta}\right)^2=(-r\sin\theta)^2+(r\cos\theta)^2+0=r^2, F=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial z}{\partial\theta}=0.

Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла:

A=\iint_{D}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.

Вычислим внутренний интеграл:

\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr.

Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.

Вычисление массы поверхности

Масса поверхности S с плотностью \rho(x, y, z) можно вычислить с помощью поверхностного интеграла первого рода:

M=\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS.

Пример

Рассмотрим пример вычисления массы поверхности, заданной уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат, с плотностью \rho(x, y, z) = 1. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi.

Сначала параметризуем поверхность:

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=r^2.

Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы:

E=1+4r^2, G=r^2, F=0.

Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла:

M=\iint_{D}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.

Вычислим внутренний интеграл:

\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr.

Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.

Вычисление центра масс поверхности

Координаты центра масс поверхности S с плотностью \rho(x, y, z) можно вычислить с помощью поверхностных интегралов первого рода:

x_c=\frac{\iint_{S}x\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS}, y_c=\frac{\iint_{S}y\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS}, z_c=\frac{\iint_{S}z\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS}.

Вычисление моментов инерции поверхности

Моменты инерции поверхности S относительно осей x, y и z можно вычислить с помощью поверхностных интегралов первого рода:

I_x=\iint_{S}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dS, I_y=\iint_{S}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dS, I_z=\iint_{S}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dS.

Пример

Рассмотрим пример вычисления момента инерции поверхности, заданной уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат, с плотностью \rho(x, y, z) = 1. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi.

Сначала параметризуем поверхность:

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=r^2.

Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы:

E=1+4r^2, G=r^2, F=0.

Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла для момента инерции относительно оси z:

I_z=\iint_{S}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dS=\iint_{D}(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.

Упростим интеграл:

\iint_{D}r^2\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr\,d\theta.

Вычислим внутренний интеграл:

\int_{0}^{R}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr.

Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.