University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/28.md

Тройной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.

Определение тройного интеграла

Тройной интеграл функции трех переменных f(x, y, z) по области V в пространстве определяется как предел суммы Римана при стремлении диаметров подобластей к нулю. Формально, если V разбита на n подобластей V_i с диаметрами \delta_i, то тройной интеграл определяется как:

\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\lim_{\delta_i\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i,

где (x_i, y_i, z_i) — произвольная точка в подобласти V_i, а \Delta V_i — объем подобласти V_i.

Свойства тройного интеграла

1. Линейность:

   • Если f(x, y, z) и g(x, y, z) интегрируемы на V, то для любых констант a и b:
   \iiint_{V}(af(x,y,z)+bg(x,y,z))\,dV=a\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV+b\iiint_{V}g(x,y,z)\,dV.

2. Аддитивность:

   • Если V разбита на две непересекающиеся области V_1 и V_2, то:
   \iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\iiint_{V_1}f(x,y,z)\,dV+\iiint_{V_2}f(x,y,z)\,dV.

3. Монотонность:

   • Если f(x, y, z) \geq g(x, y, z) для всех (x, y, z) в V, то:
   \iiint_{V}f(x,y,z)\,dV\geq\iiint_{V}g(x,y,z)\,dV.

4. Абсолютная интегрируемость:

   • Если f(x, y, z) интегрируема на V, то и |f(x, y, z)| также интегрируема на V, причем:
   \left|\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV\right|\leq\iiint_{V}|f(x,y,z)|\,dV.

Теорема существования тройного интеграла

Теорема существования тройного интеграла утверждает, что если функция f(x, y, z) непрерывна на замкнутой и ограниченной области V, то тройной интеграл \iiint_{V}f(x,y,z)\,dV существует.

Формально, если f(x, y, z) непрерывна на V, то для любого разбиения области V на подобласти V_i с диаметрами \delta_i, сумма Римана:

\sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i

имеет предел при \delta_i\to0, и этот предел не зависит от выбора точек (x_i, y_i, z_i) в подобластях V_i.

Пример

Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла. Пусть f(x, y, z) = xyz и область V — это куб с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1). Тогда тройной интеграл можно вычислить как:

\iiint_{V}xyz\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xyz\,dz\,dy\,dx.

Вычислим внутренний интеграл:

\int_{0}^{1}xyz\,dz=\left[\frac{xyz^2}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{xy}{2}.

Теперь вычислим следующий интеграл:

\int_{0}^{1}\frac{xy}{2}\,dy=\left[\frac{xy^2}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{x}{4}.

И, наконец, вычислим внешний интеграл:

\int_{0}^{1}\frac{x}{4}\,dx=\left[\frac{x^2}{8}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{8}.

Таким образом, значение тройного интеграла равно \frac{1}{8}.