University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md

Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.

Определение

Двойной интеграл функции двух переменных f(x, y) по области D на плоскости xy определяется как предел суммы Римана при стремлении диаметров подобластей к нулю. Формально, если D разбита на n подобластей D_i с диаметрами \delta_i, то двойной интеграл определяется как:

\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta A_i,

где (x_i, y_i) — произвольная точка в подобласти D_i, а \Delta A_i — площадь подобласти D_i.

Свойства

1. Линейность:

   • Если f(x, y) и g(x, y) интегрируемы на D, то для любых констант a и b:
   \iint\limits_D (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint\limits_D f(x, y) \, dA + b \iint\limits_D g(x, y) \, dA

2. Аддитивность:

   • Если D разбита на две непересекающиеся области D_1 и D_2, то:
   \iint\limits_D f(x, y) \, dA = \iint\limits_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint\limits_{D_2} f(x, y) \, dA

3. Монотонность:

   • Если f(x, y) \geq g(x, y) для всех (x, y) в D, то:
   \iint\limits_D f(x, y) \, dA \geq \iint\limits_D g(x, y) \, dA

4. Абсолютная интегрируемость:

   • Если f(x, y) интегрируема на D, то и |f(x, y)| также интегрируема на D, причем:
   \left| \iint\limits_D f(x, y) \, dA \right| \leq \iint\limits_D |f(x, y)| \, dA

Теорема существования двойного интеграла

Теорема существования двойного интеграла утверждает, что если функция f(x, y) непрерывна на замкнутой и ограниченной области D, то двойной интеграл \iint_{D} f(x, y) \, dA существует.

Формально, если f(x, y) непрерывна на D, то для любого разбиения области D на подобласти D_i с диаметрами \delta_i, сумма Римана:

\sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i

имеет предел при \delta_i \to 0, и этот предел не зависит от выбора точек (x_i, y_i) в подобластях D_i.

Пример

Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла. Пусть f(x, y) = x^2 y и область D ограничена прямоугольником с вершинами (0,0), (1,0), (1,2), (0,2). Тогда двойной интеграл можно вычислить как:

\iint\limits_D x^2 y \, dA = \int_0^2 \int_0^1 x^2 y \, dx \, dy

Вычислим внутренний интеграл:

\int\limits_0^1 x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_0^1 = \frac y 3

Теперь вычислим внешний интеграл:

\int\limits_0^2 \frac y 3 \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_0^2 = \frac 2 3

Таким образом, значение двойного интеграла равно \frac{4}{3}.